说明

本来说是五月份月底会把这期写完的，然鹅。。。事情并不如我想的这样，mathor cup加上返校后的一系列考试真是让我有些应付不过来，转眼间就到六月了。还有就是，值得注意的一件事情，我做的第三期的阅读量比其他几期的阅读量都要高呢，看来许多朋友是对解决问题的方法更感兴趣。不过呢，我想说方法固然重要，理论分析虽然枯燥但也同等重要。emmmm。。。还想说点啥，想想还是算了。咱们直接进入正题吧。

扰动分析

这里说的扰动分析其实也就是平常说的误差分析了，不过这里做分析的情况稍有不同。下面先定义一下矩阵的条件数。

矩阵的条件数

定义1：设A为方阵且非奇异，称∥A∥⋅∥A−1∥\Vert A\Vert\cdot\Vert A^{-1}\Vert∥A∥⋅∥A−1∥为A的条件数，并记为cond(A)cond(A)cond(A).特别当矩阵范数为∥⋅∥p\Vert\cdot\Vert_p∥⋅∥p时，对应的条件数记为condp(A)cond_p(A)condp(A).p=∞和2p=\infty和2p=∞和2时分别记为∞−\infty-∞−条件数和谱条件数.
根据定义，知条件数有如下性质:
(1)∀A∈Rn,cond(A)=∥A−1∥∥A∥⩾∥A⋅A−1∥=1\forall A\in \mathbb R^n,cond(A)=\Vert A^{-1}\Vert\Vert A\Vert\geqslant\Vert A\cdot A^{-1}\Vert=1∀A∈Rn,cond(A)=∥A−1∥∥A∥⩾∥A⋅A−1∥=1;
(2)∀c>0,cond(cA)=cond(A)\forall c>0,cond(cA)=cond(A)∀c>0,cond(cA)=cond(A);
(3)设D=diag(d1,d2,...,dn)D=diag(d_1,d_2,...,d_n)D=diag(d1,d2,...,dn)，则
condp(D)=max⁡j∣di∣min⁡j∣di∣,1≤p≤∞\qquad \qquad \qquad \qquad cond_p(D)=\frac{\max\limits_j |d_i|}{\min\limits_j|d_i|},1\le p\le\inftycondp(D)=jmin∣di∣jmax∣di∣,1≤p≤∞
(4)设A为对称阵，则其谱条件数为
cond2(A)=max⁡j∣λi∣min⁡j∣λi∣\qquad \qquad \qquad \qquad cond_2(A)=\frac{\max\limits_j |\lambda_i|}{\min\limits_j|\lambda_i|}cond2(A)=jmin∣λi∣jmax∣λi∣
其中λi(1≤i≤n)\lambda_i(1\le i\le n)λi(1≤i≤n)为A的特征值;
(5)设U,V均为正交阵，则有cond2(UAV)=cond2(A)cond_2(UAV)=cond_2(A)cond2(UAV)=cond2(A).
这几个性质的证明都比较简单，利用一下条件数的定义和范数的性质就好了（注意：最后两条用的是谱范数的性质）
关于条件数的几何解释，这里就不叙述了，详情请参考《数值分析教程》刘长安版

病态矩阵

定义2：求解方程组时如果对数据进行较小的扰动，则得出的结果具有很大波动，这样的矩阵称为病态矩阵.
事实上，我们的条件数就刻画了扰动对方程组解的影响程度.通常来说，条件数越大，方程组就越病态.
下面给几个判断病态矩阵的方法：
(1)行列式值很大或者很小的矩阵（如某行或者某列近似相关）；
(2)元素间相差很大的数量级；
(3)主元消去过程出现小主元；
(4)特征值相差大数量级.

右端项的扰动

设有方程组Ax=bAx=bAx=b，xxx是它的唯一解且系数矩阵未受扰动，而右端项有扰动δb\delta bδb，引起解的误差扰动为δx\delta xδx,则扰动后的方程可表示为A(x+δx)=b+δbA(x+\delta x)=b+\delta bA(x+δx)=b+δb，它有如下的误差估计式：
(∥A∥⋅∥A−1∥)−1∥δb∥∥b∥≤∥δx∥∥x∥≤∥A∥⋅∥A−1∥∥δb∥∥b∥\qquad \qquad(\Vert A\Vert\cdot\Vert A^{-1}\Vert)^{-1}\frac{\Vert\delta b\Vert}{\Vert b\Vert}\le\frac{\Vert\delta x\Vert}{\Vert x\Vert}\le\Vert A\Vert\cdot\Vert A^{-1}\Vert\frac{\Vert\delta b\Vert}{\Vert b\Vert}(∥A∥⋅∥A−1∥)−1∥b∥∥δb∥≤∥x∥∥δx∥≤∥A∥⋅∥A−1∥∥b∥∥δb∥
证明的话，咳咳，反正也没人感兴趣，我就不写了吧.

系数矩阵的扰动

假设如右端项扰动处所述，吧右端项扰动改为系数矩阵的扰动δA\delta AδA,则扰动后的方程组可表示为(A+δA)(x+δx)=b(A+\delta A)(x+\delta x)=b(A+δA)(x+δx)=b,它有如下的估计式：
∥δx∥∥x∥≤cond(A)∥δA∥∥A∥1−cond(A)∥δA∥∥A∥\qquad \qquad \qquad \qquad\frac{\Vert\delta x\Vert}{\Vert x\Vert}\le\frac{cond(A)\frac{\Vert\delta A\Vert}{\Vert A\Vert}}{1-cond(A)\frac{\Vert\delta A\Vert}{\Vert A\Vert}}∥x∥∥δx∥≤1−cond(A)∥A∥∥δA∥cond(A)∥A∥∥δA∥
这两类扰动分析的证明过程只是利用了条件数和范数的几条性质（系数矩阵的扰动分析还用到了Banach引理），所以说方程组的扰动带来的误差实际上是跟你求解精确解的算法无关的。
那么既然跟算法无关，有的童鞋可能就会问了，啊那既然如此我们不是那病态矩阵莫得办法了吗？当然也不完全没有办法，当矩阵病态程度不是很高时，我们可以利用残差回代到方程组的右端里进行求解，解得一个解的误差项，再和原先的解相加再次求残差，如此往复就行。当矩阵的病态程度相当高时，我们就要考虑在精确解不变的情况下用一个不那么病态的矩阵去替代原先的矩阵，这里的话肯定是要具体问题具体分析，就不展开来讲了。

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