拉格朗日（Lagrange）插值

问题

给定 nnn 个点，可确定一个多项式 y=f(x)y=f(x)y=f(x) ，要求确定这个多项式并求出 f(k)f(k)f(k)

拉格朗日（Lagrange）插值公式

搬运

令 Ln(x)=f(x)L_n(x)=f(x)Ln(x)=f(x)

n=1

有

由点斜式可以得到

其中

这里 lk(x)l_k(x)lk(x) 和 lk+1l_{k+1}lk+1 称作线性插值基函数。

n=2

有

构造

易得

一般情况

Ln(x)=l0(x)∗y0+l1(x)∗y1+l2(x)∗y2+...+ln(x)∗ynL_n(x)=l_0(x)*y_0+l_1(x)*y_1+l_2(x)*y_2+...+l_n(x)*y_nLn(x)=l0(x)∗y0+l1(x)∗y1+l2(x)∗y2+...+ln(x)∗yn

其中

于是

因此，求 f(k)f(k)f(k) 直接将 kkk 带入即可

时间复杂度 O(n2)O(n^2)O(n2)

O(n2)O(n^2)O(n2)求系数留坑

高斯消元 O(n3)O(n^3)O(n3) 求系数

代码

模板求 f(k)f(k)f(k)

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define mod 998244353
using namespace std;
const int N=2e3+9;
int n;
LL k,ans;
LL x[N],y[N];
LL Inv(LL a,LL b)
{LL tot=1LL;while(b){if(b&1) (tot*=a)%=mod;(a*=a)%=mod; b>>=1;}return tot;
}
LL Lagrange()
{for(int i=1;i<=n;i++){LL fz=1LL,fm=1LL;for(int j=1;j<=n;j++)if(i!=j){(fz*=(k-x[j]))%=mod;(fm*=(x[i]-x[j]))%=mod;}(ans+=y[i]*fz%mod*Inv(fm,mod-2)%mod+mod)%=mod;}return ans;
}
int main()
{scanf("%d%lld",&n,&k);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld%lld",&x[i],&y[i]);printf("%lld\n",Lagrange());return 0;
}

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拉格朗日（Lagrange）插值

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拉格朗日（Lagrange）插值公式

n=1

n=2

一般情况

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