数值分析(第五版) 第一章知识点总结

仅供大致参考，有许多定义存在不严谨的地方；不同学校的考察重点自然是不同的

第一章绪论

舍入误差

由于计算机字长是有限的，因此在存储数据时便可能不可避免地丢失部分信息，这便是舍入误差。

截断误差

由于计算机必须在有限的时间内得到运行结果，因此无穷的运算过程必须截断为有限的运算过程，由此产生截断误差。

绝对误差

记x∗x^{*}x∗为真值xxx的近似值，那么绝对误差就是这两者的绝对差距，即：e∗=x∗−xe^{*} = x^{*} - xe∗=x∗−x

相对误差

相对误差的相对指的是其考虑了真值xxx。当然，由于真值xxx实际是未知的，因此有：er∗=e∗x≈e∗x∗e_{r}^{*}=\frac{e^{*}}{x} \approx \frac{e^{*}}{x^{*}} er∗=xe∗≈x∗e∗

绝对误差限

∣e∗∣|e^{*}|∣e∗∣的上限

相对误差限

∣er∗∣|e_{r}^{*}|∣er∗∣的上限

误差限的计算

记两个近似数x1∗x_{1}^{*}x1∗，x2∗x_{2}^{*}x2∗，其误差限分别为ε(x1∗)\varepsilon(x_{1}^{*})ε(x1∗)，ε(x2∗)\varepsilon(x_{2}^{*})ε(x2∗)。那么对其进行加减乘除运算分别满足如下规律：ε(x1∗±x2∗)=ε(x1∗)+ε(x2∗)\varepsilon\left(x_{1}^{*} \pm x_{2}^{*}\right)=\varepsilon\left(x_{1}^{*}\right)+\varepsilon\left(x_{2}^{*}\right)ε(x1∗±x2∗)=ε(x1∗)+ε(x2∗) ε(x1∗x2∗)≈∣x1∗∣ε(x2∗)+∣x2∗∣ε(x1∗)\varepsilon\left(x_{1}^{*} x_{2}^{*}\right) \approx\left|x_{1}^{*}\right| \varepsilon\left(x_{2}^{*}\right)+\left|x_{2}^{*}\right| \varepsilon\left(x_{1}^{*}\right)ε(x1∗x2∗)≈∣x1∗∣ε(x2∗)+∣x2∗∣ε(x1∗) ε(x1∗/x2∗)≈∣x2∗∣ε(x2∗)+∣x2∗∣(x1∗)∣x2∗∣2\varepsilon\left(x_{1}^{*} / x_{2}^{*}\right) \approx \frac{\left|x_{2}^{*}\right| \varepsilon\left(x_{2}^{*}\right)+\left|x_{2}^{*}\right|\left(x_{1}^{*}\right)}{\left|x_{2}^{*}\right|^{2}}ε(x1∗/x2∗)≈∣x2∗∣2∣x2∗∣ε(x2∗)+∣x2∗∣(x1∗)

有效数字

如果x∗x^*x∗的绝对误差限是它的某一数位的半个单位，并且从x∗x^*x∗左起第一个非零数字到该数位共有nnn位，则称这nnn个数字为xxx的有效数字，也称用x∗x^*x∗近似xxx时具有nnn位有效数字。

一般地，凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值，其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。

秦九韶算法

对于多项式f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0f(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0，逐次去提取个xxx出来：f(x)=((anxn−2+an−1xn−3+⋯a3x+a2)x+a1)x+a0⋮=(…((anx+an−1)x+an−2)x+⋯+a1)x+a0\begin{gathered} f(x)=\left(\left(a_{n} x^{n-2}+a_{n-1} x^{n-3}+\cdots a_{3} x+a_{2}\right) x+a_{1}\right) x+a_{0} \\ \vdots \\ =\left(\ldots\left(\left(a_{n} x+a_{n-1}\right) x+a_{n-2}\right) x+\cdots+a_{1}\right) x+a_{0} \end{gathered} f(x)=((anxn−2+an−1xn−3+⋯a3x+a2)x+a1)x+a0⋮=(…((anx+an−1)x+an−2)x+⋯+a1)x+a0 然后从最里面的括号往外算即可，可以显著减少乘法运算量。

例1

设3.1415是π\piπ的近似值，其有效数字位数是多少
解注意最后一位5不是精确的(四舍五入应为6)，而从3到1一共有4个数字，因此位数为4

例2

x=3.100是某个精确值四舍五入得到的近似值，其有效数字位数是多少
解由于是四舍五入，因此最后一位也是精确的，从3到最后一个0有4个数字，因此位数为4

例3

设x>0x>0x>0，xxx的相对误差为δ\deltaδ，求ln⁡x\ln xlnx的误差。
解这里的误差应指绝对误差，那么就是求ln⁡x−ln⁡x∗=ln⁡xx∗\ln x-\ln x^{*} = \ln \frac{x}{x^{*}}lnx−lnx∗=lnx∗x。
现在考虑怎么把这个式子继续给算下去。由于我们相对误差是知道的，也就是有：x−x∗x∗=δ\frac{x-x^{*}}{x^{*}} = \deltax∗x−x∗=δ 那么接下来把左边这个式子凑出来就行了，有：ln⁡x−ln⁡x∗=ln⁡xx∗=ln⁡x−x∗+x∗x∗=ln⁡(δ+1)\ln x-\ln x^{*}=\ln \frac{x}{x^{*}}=\ln \frac{x-x^{*}+x^{*}}{x^{*}}=\ln (\delta+1) lnx−lnx∗=lnx∗x=lnx∗x−x∗+x∗=ln(δ+1) 取极限，有ln⁡(δ+1)≈δ\ln (\delta+1) \approx \deltaln(δ+1)≈δ，即ln⁡x\ln xlnx的误差的误差仍为δ\deltaδ。

例4

求下列各近似值的误差限：(i) x1∗+x2∗+x4∗;(ii) x1∗⋅x2∗⋅x3∗;(iii) x2∗/x4∗\text { (i) } x_{1}^{*}+x_{2}^{*}+x_{4}^{*} ; \text { (ii) } x_{1}^{*} \cdot x_{2}^{*} \cdot x_{3}^{*} ; \text { (iii) } x_{2}^{*} / x_{4}^{*} (i) x1∗+x2∗+x4∗; (ii) x1∗⋅x2∗⋅x3∗; (iii) x2∗/x4∗ 其中x1∗=1.1021,x2∗=0.031,x3∗=385.6,x4∗=56.430x_{1}^{*}=1.1021, x_{2}^{*}=0.031, x_{3}^{*}=385.6, x_{4}^{*}=56.430 x1∗=1.1021,x2∗=0.031,x3∗=385.6,x4∗=56.430
解考虑代入上文提到的误差限计算公式，有：
e∗(x1∗+x2∗+x4∗)⩽e(x1∗)+e(x2∗)+e(x4∗)=12×10−4+12×10−3+12×10−3⩽1.052×10−3\begin{aligned} e^{*}\left(x_{1}^{*}+x_{2}^{*}+x_{4}^{*}\right) & \leqslant e\left(x_{1}^{*}\right)+e\left(x_{2}^{*}\right)+e\left(x_{4}^{*}\right) \\ &=\frac{1}{2} \times 10^{-4}+\frac{1}{2} \times 10^{-3}+\frac{1}{2} \times 10^{-3} \\ & \leqslant 1.052 \times 10^{-3} \end{aligned} e∗(x1∗+x2∗+x4∗)⩽e(x1∗)+e(x2∗)+e(x4∗)=21×10−4+21×10−3+21×10−3⩽1.052×10−3 e∗(x1∗⋅x2∗⋅x3∗)≈x2∗⋅x3∗(x1−x1∗)+x1∗⋅x3∗⋅(x2−x2∗)+x1∗⋅x2∗(x3−x3∗)≈0.215\begin{array}{l} \left.e^{*}(x_{1}^{*} \cdot x_{2}^{*} \cdot x_{3}^{*}\right) \\ \approx x_{2}^{*} \cdot x_{3}^{*}\left(x_{1}-x_{1}^{*}\right)+x_{1}^{*} \cdot x_{3}^{*} \cdot\left(x_{2}-x_{2}^{*}\right)+x_{1}^{*} \cdot x_{2}^{*}\left(x_{3}-x_{3}^{*}\right) \\ \approx 0.215 \end{array} e∗(x1∗⋅x2∗⋅x3∗)≈x2∗⋅x3∗(x1−x1∗)+x1∗⋅x3∗⋅(x2−x2∗)+x1∗⋅x2∗(x3−x3∗)≈0.215 e∗(x2∗/x4∗)⩽∣1x4∗(x2−x2∗)−x2∗(x4∗)2(x4−x4∗)∣=∣x2∗x4∗er∗(x2)−x2∗x4∗er∗(x4)∣⩽∣x2∗x4∗∣[∣e1∗(x2)∣+er∗(x4)∣]=0.03156.430[12×10−30.031+12×10−356.430]⩽10−5\begin{aligned} e^{*}\left(x_{2}^{*} / x_{4}^{*}\right) & \leqslant\left|\frac{1}{x_{4}^{*}}\left(x_{2}-x_{2}^{*}\right)-\frac{x_{2}^{*}}{\left(x_{4}^{*}\right)^{2}}\left(x_{4}-x_{4}^{*}\right)\right| \\ &=\left|\frac{x_{2}^{*}}{x_{4}^{*}} e_{r}^{*}\left(x_{2}\right)-\frac{x_{2}^{*}}{x_{4}^{*}} e_{r}^{*}\left(x_{4}\right)\right| \\ & \leqslant \mid \frac{x_{2}^{*}}{x_{4}^{*}} \mid\left[\left|e_{1}^{*}\left(x_{2}\right)\right|+e_{r}^{*}\left(x_{4}\right) \mid\right] \\ &=\frac{0.031}{56.430}\left[\frac{\frac{1}{2} \times 10^{-3}}{0.031}+\frac{\frac{1}{2} \times 10^{-3}}{56.430}\right] \\ & \leqslant 10^{-5} \end{aligned} e∗(x2∗/x4∗)⩽∣∣∣∣∣x4∗1(x2−x2∗)−(x4∗)2x2∗(x4−x4∗)∣∣∣∣∣=∣∣∣∣x4∗x2∗er∗(x2)−x4∗x2∗er∗(x4)∣∣∣∣⩽∣x4∗x2∗∣[∣e1∗(x2)∣+er∗(x4)∣]=56.4300.031[0.03121×10−3+56.43021×10−3]⩽10−5

例5

设S=12gt2S=\frac{1}{2} g t^{2}S=21gt2，假定ggg是准确的，而对ttt的测量有0.1秒的误差，证明当t增大时SSS的绝对误差增大，而相对误差却减小。
解绝对误差e(S)=S−S∗=gt(t−t∗)=gte(t)e(S)=S-S^{*}=g t\left(t-t^{*}\right)=g t e(t)e(S)=S−S∗=gt(t−t∗)=gte(t) 相对误差
er(S)=S−S∗S=gt(t−t∗)12gt2=2e(t)te_{r}(S)=\frac{S-S^{*}}{S}=\frac{g t\left(t-t^{*}\right)}{\frac{1}{2} g t^{2}}=\frac{2 e(t)}{t}er(S)=SS−S∗=21gt2gt(t−t∗)=t2e(t)由于e(t)e(t)e(t)为定值，因此t增大时绝对误差变大，相对误差变小。

例6

用秦九韶算法求多项式p(x)=3x5−2x3+x+7p(x)=3 x^{5}-2 x^{3}+x+7p(x)=3x5−2x3+x+7在x=3x=3x=3处的值。
解根据秦九韶算法，有p(x)=((3x2−2)x2+1)x+7p(x) = ((3x^2-2)x^2+1)x+7p(x)=((3x2−2)x2+1)x+7，代入可得值为685。

例7

用迭代法xk+1=11+xk(k=0,1,⋯)x_{k+1}=\frac{1}{1+x_{k}}(k=0,1, \cdots)xk+1=1+xk1(k=0,1,⋯)求方程x2+x−1=0x^{2}+x-1=0x2+x−1=0的正根x∗=−1+52x^{*}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}x∗=2−1+5，取x0=1x_{0}=1x0=1。如果使用加权平均迭代公式：xk+1=ωxk+(1−ω)11+xkx_{k+1}=\omega x_{k}+(1-\omega) \frac{1}{1+x_{k}} xk+1=ωxk+(1−ω)1+xk1 验证当ω=725\omega=\frac{7}{25}ω=257时，采用该加权平均公式比迭代法收敛快。
解所谓收敛快不快看的就是有效数字的位数。那么先看原始的迭代法，有：
x0=1，x1=0.5，x2=0.667，x3=0.6，x4=0.625x_{0}=1，x_{1}=0.5，x_{2}=0.667，x_{3}=0.6，x_{4}=0.625x0=1，x1=0.5，x2=0.667，x3=0.6，x4=0.625。可以看到直到x4x_{4}x4的有效数字位数仍只有1；
而对于加权平均迭代法，有x0=1，x1=0.64，x2=0.618024，x3=0.618034，x4=0.618034x_{0}=1，x_{1}=0.64，x_{2}=0.618024，x_{3}=0.618034，x_{4}=0.618034x0=1，x1=0.64，x2=0.618024，x3=0.618034，x4=0.618034。可以看到在x3x_{3}x3时有效数字便有5位，收敛更快。