满足矩阵方程，求未知矩阵．
　　解　由已知条件知
　  　 
　　　　

三、矩阵与矩阵的乘法

　　1、 运算规则 
　　设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵：
　　(1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即．
　　(2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．

　　典型例题 
　　例6.5.2　设矩阵 　　计算 
　　解　是的矩阵．设它为
　　　　   

　　　　    
　　想一想：设列矩阵，行矩阵，和的行数和列数分别是多少呢 
　　是3×3的矩阵，是1×1的矩阵，即只有一个元素．

　　课堂练习 
　　1、设，，求．
　　2、在第1道练习题中，两个矩阵相乘的顺序是A在左边，B在右边，称为A左乘B或B右乘A．如果交换顺序，让B在左边，A在右边，即A右乘B，运算还能进行吗？请算算试试看．并由此思考：两个矩阵应当满足什么条件，才能够做乘法运算．
　　3、设列矩阵，行矩阵，求和，比较两个计算结果，能得出什么结论吗？
　　4、设三阶方阵，三阶单位阵为，试求和，并将计算结果与A比较，看有什么样的结论．

　　解： 
　　第1题 ． 　　第2题
　　对于 ，． 　　求是有意义的，而是无意义的．

　　结论1　只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数．
　　第3题
　　是矩阵，是的矩阵．
　　　        ．
              
    结论2　在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在与均有意义时，也未必有=成立．可见矩阵乘法不满足交换律．
　　第4题
　　计算得：．
　　结论3　方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即．
　　单位阵在矩阵乘法中的作用相当于数1在我们普通乘法中的作用．

　　典型例题 
　　例6.5.3　设，试计算和．
　　解　 
　　　　　　 
　　　　　　．
　　　　 
　　　　　　 
　　　　　　 
    结论4　两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵．由此若，不能得出或的结论．

　　例6.5.4　利用矩阵的乘法，三元线性方程组 　　可以写成矩阵的形式  ＝ 　　若记系数、未知量和常数项构成的三个矩阵分别为  ，，， 　　则线性方程组又可以简写为矩阵方程的形式：．

　　2、 运算性质（假设运算都是可行的） 
　　(1)　结合律　．
　　(2)　分配律　（左分配律）；
　　　　　　　　　（右分配律）．
　　(3)　．
　　 3、 方阵的幂

 
定义：设A是方阵，是一个正整数，规定 ， 显然，记号表示个A的连乘积．

四、矩阵的转置

　　1、 定义

 
定义：将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作或．

　　例如，矩阵的转置矩阵为．
　　2、运算性质（假设运算都是可行的）
　　(1)　 
　　(2)　 
　　(3)　 
　　(4)　，是常数．

　　典型例题 
　　例6.5.5  利用矩阵 　　验证运算性质： 
　　解　   ；
　　而
　　　　 
　　所以
　　　．
 
定义：如果方阵满足，即，则称A为对称矩阵．

　　对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等．

五、方阵的行列式

　　1、定义

 
定义：由方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作或．

　　2 、运算性质 
　　(1)  （行列式的性质）
　　(2) ，特别地： 
　　(3) （是常数，A的阶数为n）
　　思考：设A为阶方阵，那么的行列式与A的行列式之间的关系为什么不是，而是？

　　不妨自行设计一个二阶方阵，计算一下和．
　　例如，则．
　　于是，而 ．
　　思考：设，有几种方法可以求？
　　解  方法一：先求矩阵乘法，得到一个二阶方阵，再求其行列式．
　　　　方法二：先分别求行列式，再取它们的乘积．
　　满足矩阵方程，求未知矩阵．
　　解　由已知条件知
　  　 
　　　　

三、矩阵与矩阵的乘法

　　1、 运算规则 
　　设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵：
　　(1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即．
　　(2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．

　　典型例题 
　　例6.5.2　设矩阵 　　计算 
　　解　是的矩阵．设它为
　　　　   

　　　　    
　　想一想：设列矩阵，行矩阵，和的行数和列数分别是多少呢 
　　是3×3的矩阵，是1×1的矩阵，即只有一个元素．

　　课堂练习 
　　1、设，，求．
　　2、在第1道练习题中，两个矩阵相乘的顺序是A在左边，B在右边，称为A左乘B或B右乘A．如果交换顺序，让B在左边，A在右边，即A右乘B，运算还能进行吗？请算算试试看．并由此思考：两个矩阵应当满足什么条件，才能够做乘法运算．
　　3、设列矩阵，行矩阵，求和，比较两个计算结果，能得出什么结论吗？
　　4、设三阶方阵，三阶单位阵为，试求和，并将计算结果与A比较，看有什么样的结论．

　　解： 
　　第1题 ． 　　第2题
　　对于 ，． 　　求是有意义的，而是无意义的．

　　结论1　只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数．
　　第3题
　　是矩阵，是的矩阵．
　　　        ．
              
    结论2　在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在与均有意义时，也未必有=成立．可见矩阵乘法不满足交换律．
　　第4题
　　计算得：．
　　结论3　方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即．
　　单位阵在矩阵乘法中的作用相当于数1在我们普通乘法中的作用．

　　典型例题 
　　例6.5.3　设，试计算和．
　　解　 
　　　　　　 
　　　　　　．
　　　　 
　　　　　　 
　　　　　　 
    结论4　两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵．由此若，不能得出或的结论．

　　例6.5.4　利用矩阵的乘法，三元线性方程组 　　可以写成矩阵的形式  ＝ 　　若记系数、未知量和常数项构成的三个矩阵分别为  ，，， 　　则线性方程组又可以简写为矩阵方程的形式：．

　　2、 运算性质（假设运算都是可行的） 
　　(1)　结合律　．
　　(2)　分配律　（左分配律）；
　　　　　　　　　（右分配律）．
　　(3)　．
　　 3、 方阵的幂

 
定义：设A是方阵，是一个正整数，规定 ， 显然，记号表示个A的连乘积．

四、矩阵的转置

　　1、 定义

 
定义：将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作或．

　　例如，矩阵的转置矩阵为．
　　2、运算性质（假设运算都是可行的）
　　(1)　 
　　(2)　 
　　(3)　 
　　(4)　，是常数．

　　典型例题 
　　例6.5.5  利用矩阵 　　验证运算性质： 
　　解　   ；
　　而
　　　　 
　　所以
　　　．
 
定义：如果方阵满足，即，则称A为对称矩阵．

　　对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等．

五、方阵的行列式

　　1、定义

 
定义：由方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作或．

　　2 、运算性质 
　　(1)  （行列式的性质）
　　(2) ，特别地： 
　　(3) （是常数，A的阶数为n）
　　思考：设A为阶方阵，那么的行列式与A的行列式之间的关系为什么不是，而是？

　　不妨自行设计一个二阶方阵，计算一下和．
　　例如，则．
　　于是，而 ．
　　思考：设，有几种方法可以求？
　　解  方法一：先求矩阵乘法，得到一个二阶方阵，再求其行列式．
　　　　方法二：先分别求行列式，再取它们的乘积．

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