通俗易懂！视觉slam第八部分—

在 SLAM 中，除了表示之外，我们还要对它们进行估计和优化。因为在 SLAM 中位姿是未知的，而我们需要解决什么样的相机位姿最符合当前观测数据这样的问题。一种典型的方式是把它构建成一个优化问题，求解最优的 R,t，使得误差最小化。如前所言，旋转矩阵自身是带有约束的（正交且行列式为 1）。它们作为优化变量时，会引入额外的约束，使优化变得困难。通过李群——李代数间的转换关系，我们希望把位姿估计变成无约束的优化问题，简化求解方式。

我们说三维旋转矩阵构成了特殊正交群 SO(3)，而变换矩阵构成了特殊欧氏群 SE(3)：

旋转矩阵也好，变换矩阵也好，它们对加法是不封闭的。换句话说，对于任意两个旋转矩阵 R1 ,R2 ，它们按照矩阵加法的定义，和不再是一个旋转矩阵。对于变换矩阵亦是如此。我们发现，这两种矩阵并没有良好定义的加法，相对的，它们只有一种较好的运算：乘法。SO(3) 和 SE(3) 关于乘法是封闭的:

乘法对应着旋转或变换的复合——两个旋转矩阵相乘表示做了两次旋转。对于这种只有一个运算的集合，我们把它叫做群。

群

群（Group）是一种集合加上一种运算的代数结构。我们把集合记作 A，运算记作 ·，那么群可以记作 G = (A,·)。群要求这个运算满足以下几个条件：

可以验证，旋转矩阵集合和矩阵乘法构成群，同样变换矩阵和矩阵乘法也构成群（因此才能称它们为旋转矩阵群和变换矩阵群）。其他常见的群包括整数的加法 (Z,+)，去掉 0 后的有理数的乘法（幺元为 1）(Q\0,·) 等等。矩阵中常见的群有：

一般线性群 GL(n) 指 n × n 的可逆矩阵，它们对矩阵乘法成群。
特殊正交群 SO(n) 也就是所谓的旋转矩阵群，其中 SO(2) 和 SO(3) 最为常见。
特殊欧氏群 SE(n) 也就是前面提到的 n 维欧氏变换，如 SE(2) 和 SE(3)。

李群是指具有连续（光滑）性质的群。像整数群 Z 那样离散的群没有连续性质，所以不是李群。而 SO(n) 和 SE(n)，它们在实数空间上是连续的。我们能够直观地想象一个刚体能够连续地在空间中运动，所以它们都是李群。由于 SO(3) 和 SE(3) 对于相机姿态估计尤其重要，我们主要讨论这两个李群。

首先引出 SO(3) 上面的李代数 so(3)。

李代数

考虑任意旋转矩阵 R，我们知道它满足：

现在，我们说，R 是某个相机的旋转，它会随时间连续地变化，即为时间的函数：R(t)。由于它仍是旋转矩阵，有

在等式两边对时间求导，得到：

整理得：

可以看出是一个反对称矩阵。对于任意反对称矩阵，我们能找到一个与之对应的向量。把这个运算用符号∨表示

由于是一个反对称矩阵，我们可以找到一个三维向量与之对应。

等式两边右乘 R(t)，由于 R 为正交阵，有：

可以看到，每对旋转矩阵求一次导数，只需左乘一个 ϕ∧(t) 矩阵即可。为方便讨论，我们设 t0 = 0，并设此时旋转矩阵为 R(0) = I。按照导数定义，可以把 R(t) 在 0 附近进行一阶泰勒展开：

我们看到 ϕ 反映了 R 的导数性质，故称它在 SO(3) 原点附近的正切空间 (Tangent Space) 上。同时在 t0 附近，设 ϕ 保持为常数。

上式是一个关于 R 的微分方程，而且我们知道初始值 R(0) = I，解之，得：

可以验证上式对微分方程和初始值均成立。不过，由于做了一定的假设，所以它只在 t = 0 附近有效。我们看到，旋转矩阵 R 与另一个反对称矩阵 ϕ 0 通过指数关系发生了联系。也就是说，当我们知道某个时刻的 R 时，存在一个向量 ϕ，它们满足这个矩阵指数关系。

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通俗易懂！视觉slam第八部分——李群，李代数

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