视觉SLAM十四讲——第四讲李群与李代数

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《视觉SLAM十四讲》第四讲知识点整理+习题

正在学习SLAM相关知识，将一些关键点及时记录下来。

知识点整理

本讲主要解决**什么样的相机位姿最符合当前观测数据**问题。一种典型的方法是把它构建成一个优化问题，求解最优的R，t，使得误差最小化。通过李群-李代数间的转换关系，可以将位姿估计变成无约束的优化问题，简化求解方式

群：一种集合加上一种运算的代数结构。满足以下条件“封结幺逆”
特殊正交群SO(3): 三维空间的旋转矩阵，是一个正交阵，且行列式为1，即旋转矩阵群
特殊欧氏群SE(3): 包含三维空间旋转矩阵R，平移向量t，0^T 和1的四维空间变换矩阵。即3维欧式变换群
李群: 具有连续（光滑）性质的群。每个李群都有对应的李代数
反对称矩阵: A = -A_T。对于一个向量，可以将其变成反对称矩阵；对于任意反对称矩阵，亦可以找到一个与之对应的向量
Φ叫做：在SO(3)原点附近的正切空间。R(t) = exp(Φ^ t)，这里Φ是指Φ0. 其中^是指将Φ0向量变成其对应的反对称矩阵的操作。所以，每对旋转矩阵求一次导数，只需要左侧乘以Φ(t0)即可
李代数: 描述了李群的局部性质。由一个集合，一个数域，一个二元运算组成。具有封闭性，双线性，自反性和雅可比等价。SO(3)对应的李代数是定义在3D空间上的向量。由于李代数和反对称矩阵关系很紧密，在不引起歧义的情况下，就说李代数的元素是三维向量或者三维矩阵。李代数so(3) 是一个三维向量。李代数se(3) 是一个六维向量
指数映射: 在李群和李代数中，表示一个矩阵的指数。任意矩阵的指数映射可以写成一个Taylor展开，但是只有在收敛的情况下才会有结果，其结果仍是一个矩阵
特殊正交群的李代数实际上就是所谓的旋转向量组成的向量，其指数映射即罗德里格斯公式。通过它们，可以把so(3)中任意一个向量对应到一个位于SO(3)中的旋转矩阵，反之也可以
指数映射：。指数映射表示把so(3)中任意一个向量（即旋转向量）对应到了一个位于SO(3)中的旋转矩阵
对数映射：。对手映射表示将SO(3)中的元素对应到so(3)中去
使用李代数的一大动机就是为了进行优化，而在优化过程中导数是非常必要的信息
两个李代数指数映射乘积的完整形式: 由BCH公式给出。BCH公式线性近似表达：

以第一个近似为例。当对一个旋转矩阵R2（李代数为Φ2）左乘一个微小旋转矩阵R1(李代数为Φ1）时，可以近似的看做，在原有的李代数Φ2上，加上了一项。对于第二个近似同理。于是，李代数在BCH近似下，分成了左乘近似和右乘近似两种，在使用时需加注意，使用的是做成模型还是右乘模型

总结为：
李群和李代数之间的转换关系
使用李代数解决求导问题的思路: 应用中，通常会构建与位姿有关的函数，然后讨论该函数关于位姿的导数，以调整当前的估计值。此时，就需要用到李代数求导。有两种解决思路
用李代数表示姿态，然后根据李代数加法来对李代数求导
对李群左乘或右乘微小扰动，然后对该扰动求导，称为左扰动和右扰动模型
李代数求导: 旋转后的点相对于李代数的导数。但是仍然含有形式比较复杂的Jl，所以还是很复杂
扰动模型（左乘）：设左扰动△R对应的李代数为φ，对φ求导
取近似后的结果为

实践Sophus

. Sophus基于Eigen进行开发，可以从旋转矩阵、旋转向量和四元数构造Sopuhs::SO(3)
使用对数映射可以获得对应的李代数，用Eigen::Vector3d表示

 // 使用对数映射获得它的李代数Eigen::Vector3d so3 = SO3_R.log();cout<<"so3 = "<<so3.transpose()<<endl;// hat 为向量到反对称矩阵cout<<"so3 hat=\n"<<Sophus::SO3::hat(so3)<<endl;// 相对的，vee为反对称矩阵到向量cout<<"so3 hat vee= "<<Sophus::SO3::vee( Sophus::SO3::hat(so3) ).transpose()<<endl; // transpose纯粹是为了输出美观一些
------------------------------------------------------------
// 增量扰动模型的更新。此时为左乘扰动模型Eigen::Vector3d update_so3(1e-4, 0, 0); //假设更新量为这么多Sophus::SO3 SO3_updated = Sophus::SO3::exp(update_so3)*SO3_R

输出为

查看Sophus源码中使用到的函数
1. SO(3)的hat函数源码，根据书上的公式直接赋值。这个就比较直观了，**********************************
2. SO(3)的vee函数源码，直接返回反对称矩阵中对应位置的值即可

3. SO(3)的exp函数。返回的是一个以四元数为输入的SO3变量。因此，对于四元数，根据公式[3.19]，计算二分之一的旋转角度的cos和sin值即可。而旋转角度，根据下述代码，即为传入Omega的模长
4. SO(3)的log函数。相比较exp函数而言，log函数就复杂了，，，

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