数学思想方法猜想与反驳（1）归纳猜想

数学问题的提出和解决是推动数学发展的重要力量，猜想和反驳是解决数学问题的一个重要思想方法。猜想是人们根据一定的经验材料和已知的事实对数学问题做出的推测性判断，可能为真，也可能为假。可以是演绎证明确认为真命题，或者举出反例判断其为假命题。数学猜想包括归纳猜想和类比猜想。

第一节归纳猜想

一.归纳

归纳法是从特殊到一般的推理方法，它与演绎法被认为是理性思维中的两种推理方法。

例子：已知x1 = a, xn = 3xn-1/(xn-1 + 3) (n>=2), 求数列{xn} 的通项公式。

x1 = a;

x2 = 3a/(a+3);

x3 = 3a/(2a+3);

x4 = 3a/(3a+3);

x5 = 3a/(4a+3);

经过观察分析，可以归纳推理出xn的表达式：

xn = 3a/((n-1)a + 3)

二.归纳猜想的类型

1，不完全归纳法

不完全猜想指的是根据对某类事物中的部分对象的分析，做出关于该类事物的一般性结论的推理方法。

设S={A1,A2,A3...An...}，由于A1具有属性p，A2具有属性p,...An具有属性p，因此推断S类事物中的每一个对象都具有属性p。

求凸n边形的内角和公式。

当n=3时，内角和为180°；当n=4时，可以看成两个三角形，内角和为180°*2；当n=5时，可以看出3个三角形，内角和为180°*3.....

通过对以上特殊情况观察分析，可以归纳为以下结论：凸n边形可以看成n-2个三角形，因此凸n边形为180°*（n-2）。

2.完全归纳法

完全归纳法是根据对某种事物中的每一个对象的情况分析，进而做出关于该类事物的一般性结论的推理方法。

设S={A1,A2,A3...An}，由于A1具有属性p，A2具有属性p,...An具有属性p，因此推断S类事物中的每一个对象都具有属性p。

完全归纳法有两种情况：穷举归纳法和分类讨论。

三.归纳猜想

人们运用归纳法得出对一类现象的某种一般性认识的一种推测性的判断，即归纳猜想。

归纳猜想的思维步骤是：特例---归纳---猜想。

面对一个现象，可以从两方面进行思考：通过演绎推理证明此猜想为真，或者找出反例说明此猜想为假，从而否定或修正此猜想。

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