三次函数求近似解

牛顿迭代法、二分法

本人大一学生，学习C语言刚刚三个月，分享一下自己学习的题目和方法，欢迎大佬们批评指正！
首先解释一下牛顿迭代法和二分法的原理：
（参考同济大学高等数学第七版上册第三章第八节方程的近似解）
首先根据切线的定义式,并通过近似逼近：
(f(x)f(x)f(x)-f(x0f(x_0f(x0))/(x−x0x-x_0x−x0)=f1(x)f^1(x)f1(x)
令f(x0f(x_0f(x0)=0
移项得
x=x0−f(x0)/f1(x0)x=x_0-f(x_0)/f^1(x_0)x=x0−f(x0)/f1(x0)
每一次的迭代都会逼近于真实解
（不明白的话可以去翻翻高数课本，各高校的教材应该都会有）
先上文件和函数库

#include<iostream>
#include<cmath>//调用pow函数
#define EPSILON 1e-6//确定精度
using namespace std;

再放原函数和导数的方程

//原函数
double f(int a,int b,int c,int d,double x){return a*pow(x,3)+b*pow(x,2)+c*x+d;
}
//导数
double fDerivable(int a,int b,int c,double x){return 3*a*pow(x,2)+2*b*x+c;
}

再来看牛顿迭代法（循环实现）

//EPSILON为事先规定的精度

double newton(int a,int b,int c,int d,double x){while(fabs(f(a,b,c,d,x)/(fDerivable(a,b,c,x)))>EPSILON){x=x-f(a,b,c,d,x)/fDerivable(a,b,c,x);}return x;
}

再送上牛顿迭代法(递归实现）

double newton2(int a,int b,int c, int d,double x){if(fabs(f(a,b,c,d,x)/(fDerivable(a,b,c,x)))<=EPSILON){return x;}else{x=x-f(a,b,c,d,x)/fDerivable(a,b,c,x);return newton2(a,b,c,d,x);}
}

再来介绍一下二分法（又称为夹逼法）

顾名思义，通过函数的连续性，利用零点定理（介值定理）找到近似解。

先来循环实现

double bi(int a,int b,int c,int d,double x1,double x2){//a,b,c,d为系数 x1 ,x2 为区间左右端点double s1=x1,s2=x2;while(fabs(s1-s2)>1e-6&&f(a,b,c,d,s1)!=0){if(f(a,b,c,d,(s1+s2)/2)*f(a,b,c,d,x1)<0){s2=(s1+s2)/2;//右端点左移 }else{s1=(s1+s2)/2;//左端点右移 }}return s1;
}

再来递归实现

double bi2(int a,int b,int c,int d,double x1,double x2)
{double s1=x1,s2=x2;double m=(s1+s2)/2;//middleif(f(a,b,c,d,m)==0||fabs(s1-m)<EPSILON){//如果正好为解 或 达到指定精度精度 return m;} else if((f(a,b,c,d,m)*f(a,b,c,d,x1))<0){//判断左端点与middle的函数值是否为异号 return bi(a,b,c,d,x1,m);}else{ return bi(a,b,c,d,m,x2);}
}

最后放上全部代码

#include<iostream>
#include<cmath>//调用pow函数
#define EPSILON 1e-6//确定精度
using namespace std;
//原函数
double f(int a,int b,int c,int d,double x){return a*pow(x,3)+b*pow(x,2)+c*x+d;
}
//导数
double fDerivable(int a,int b,int c,double x){return 3*a*pow(x,2)+2*b*x+c;
}
//牛顿迭代法
double newton(int a,int b,int c,int d,double x){while(fabs(f(a,b,c,d,x)/(fDerivable(a,b,c,x)))>EPSILON){x=x-f(a,b,c,d,x)/fDerivable(a,b,c,x);}return x;
}
double newton2(int a,int b,int c, int d,double x){if(fabs(f(a,b,c,d,x)/(fDerivable(a,b,c,x)))<=EPSILON){return x;}else{x=x-f(a,b,c,d,x)/fDerivable(a,b,c,x);return newton2(a,b,c,d,x);}
}
//二分法（循环）
double bi(int a,int b,int c,int d,double x1,double x2){//a,b,c,d为系数 x1 ,x2 为区间左右端点double s1=x1,s2=x2;while(fabs(s1-s2)>1e-6&&f(a,b,c,d,s1)!=0){if(f(a,b,c,d,(s1+s2)/2)*f(a,b,c,d,x1)<0){s2=(s1+s2)/2;//右端点左移 }else{s1=(s1+s2)/2;//左端点右移 }}return s1;
}
//用二分法解(递归)
double bi2(int a,int b,int c,int d,double x1,double x2)
{double s1=x1,s2=x2;double m=(s1+s2)/2;//middleif(f(a,b,c,d,m)==0||fabs(s1-m)<EPSILON){//如果正好为解 或 达到指定精度精度 return m;} else if((f(a,b,c,d,m)*f(a,b,c,d,x1))<0){//判断左端点与middle的函数值是否为异号 return bi(a,b,c,d,x1,m);}else{ return bi(a,b,c,d,m,x2);}
}
int main()
{int a=1,b=-3,c=6,d=-1;//样例函数数据  cout<<"The coefficients are a="<<a<<" b="<<b<<" c="<<c<<" d="<<d<<":"<<endl;double x1=0,x2=1;//(0,1)区间 //牛顿迭代法 cout<<"The approximate root is: "<<newton(a,b,c,d,x1)<<endl;cout<<"The approximate root is: "<<newton2(a,b,c,d,x1)<<endl;//二分法 cout<<"The approximate root is: "<<bi(a,b,c,d,x1,x2)<<endl;cout<<"The approximate root is: "<<bi2(a,b,c,d,x1,x2)<<endl;return 0;
}

总结

1.在实际操作中，牛顿迭代法需要求出f(x)f(x)f(x)的二阶导，画出f(x)f(x)f(x)的大致图像，使指定区间内有且仅有一个零点，判断端点中哪个值为初始的x0x_0x0。
2.同样的，二分法在实操中，需要确定端点值，使指定区间内有且仅有一个零点。

本人是某邮物联网专业学生，这也是我第一次写博客，再加上是新手，用的不太熟练，欢迎大家批评指正，一起交流学习。