最大流之Dinic算法

Dinic是一个分层的增广路算法。

Dinic中分层的概念定义为：到原结点的最小距离相同的点为同一层。
假设有拓扑如下：如果源点为1，宿点为4；拓扑可以分成4层。

首先，回想E-K算法是怎么算的：使用DFS在1到4之间计算一条增广路，并计算残量网络；再进行循环。我们观察计算第一次增广路（1->2->3->4）之后的残量网络，橙色的表示反向弧。

从图中可以看出，其实这个时候1->2->5->4明显还可以流过一个流量。Dinic将这些信息利用起来。如果某个层次还有可以流到下个层次的流量，就继续计算。那么在遍历到第1层的时候，除了要考虑<2,3>的容量，还要判断<2,5>的容量。

从代码级别看，在DFS时，计算了增广路径1->2->3->4之后，在回溯到2结点的时候，再继续考虑从2结点出发的下一个从1层流向2层的边（<2,5>）。具体细节可见后面代码实现。
那么，Dinic只需要一次DFS就可以实现多次增广。

Dinic算法的步骤如下：
1. 利用BFS建立分层图。
2. 在分层图中，利用DFS在拓扑中求出增广路径（相当于多条），并求出残量网络。
3. 重复步骤1，2；直到宿结点不在分层网络中，表示此时已经没有从源到宿的增广路，结束增广。

分析一下Dinic的时间复杂度：
Dinic算法进行了若干此循环，每次循环中的操作包括一次BFS和一次DFS。而这样的循环最多为V次。因此Dinic的时间复杂度为O(E*V^2)。

代码实现：

#-*- coding: utf-8 -*-# topo = {from : {to : cap}}
topo = { 1 : {2 : 5},2 : {1 : 0, 3 : 5, 5 : 5},3 : {2 : 0, 4 : 4},4 : {3 : 0, 5 : 2},5 : {2 : 0, 4 : 4}}def bfs_get_layer_net(S, D):layer_net = [0xFFFFFFFF for i in range(len(topo) + 1)]layer_net[S] = 0for src, dsts in topo.items():for dst, flow in dsts.items():if flow > 0 and layer_net[src] + 1 < layer_net[dst]:layer_net[dst] = layer_net[src] + 1return layer_net if layer_net[D] != 0xFFFFFFFF else Nonedef dfs_argument(layer_net, cur, S, D, min_flow):layer_flow = 0if D == cur : return min_flowfor dst, flow in topo[cur].items():if layer_net[cur] + 1 == layer_net[dst] and flow > 0:ans = dfs_argument(layer_net, dst, S, D, min(min_flow - layer_flow, flow))topo[cur][dst] -= anstopo[dst][cur] += anslayer_flow += ans # 重要，之后的层次进行增广的时候，最大的流量为前面的层次流下来的网络，因此在这里要进行累加。return layer_flowdef dinic(S, D):ans = 0while True:layer_net = bfs_get_layer_net(S, D)if layer_net is None: breakans += dfs_argument(layer_net, 1, 1, 4, 0xFFFFFF)return ansif __name__ == '__main__':print dinic(1, 4)

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