Happy_2004
- 题意：
- 思路（详细解释在扩展）：
- CodeCodeCode：
- 扩展（因子和，积性函数）
- - nnn的全部因子之和是：
  - 积性函数σ\sigmaσ

Happy_2004

题意：

求2004k2004^k2004k的全部因子的和，对292929取模

思路（详细解释在扩展）：

积性函数，等比数列求和

CodeCodeCode：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e3+10;
const int inf = 0x7ffffff;
const int mod = 29;
ll qpow(ll x, ll y) {//快速幂ll ans = 1;while(y) {if(y & 1) ans = ans * x % mod;x = x * x % mod;y >>= 1;}return ans;
}
ll cal(ll p, ll cnt) {//等比数列求和if(cnt == 1) return p+1;if(cnt == 0) return 1;if(cnt % 2) {return cal(p, cnt/2)%mod *(qpow(p, cnt/2+1) + 1ll) % mod;}else {return (cal(p, cnt/2-1)%mod * (qpow(p, cnt/2+1) + 1ll) % mod + qpow(p, cnt/2)) % mod;}
}
int main() {#ifndef ONLINE_JUDGE freopen("in.txt", "r", stdin);freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif  ll n;while(cin >> n, n)cout << cal(2ll, 2*n)*cal(3ll, n) % mod * cal(22ll, n) % mod << endl;return 0;
}

扩展（因子和，积性函数）

nnn的全部因子之和是：

(1+p1+p12...+p1q1)×(1+p2+p22...+p2q2)..×(1+pn+pn2...+pnqn)(1+p_1+p_1^2...+p_1^{q_1})\times(1+p_2+p_2^2...+p_2^{q_2})..\times(1+p_n+p_n^2...+p_n^{q_n})(1+p1+p12...+p1q1)×(1+p2+p22...+p2q2)..×(1+pn+pn2...+pnqn)

=∏i=1n∑j=0pipij=\prod_{i=1}^n\sum_{j=0}^{p_i}p_i^j=∏i=1n∑j=0pipij

用分治(一般都会取模)。

举例(首项为1，公比为p，长度5+1)：

1+p+p2+p3+p4+p51+p+p2+p3×(1+p+p2)(1+p+p2)×(1+p3)1+p+p^2+p^3+p^4+p^5\\ 1+p+p^2+p^3\times(1+p+p^2)\\ (1+p+p^2)\times(1+p^3)\\ 1+p+p2+p3+p4+p51+p+p2+p3×(1+p+p2)(1+p+p2)×(1+p3)

分治，范围变小

同理：首项为ppp或者其他。

上面的式子可以感性理解一下，对nnn进行质因子分解。对质因子pip_ipi可以选择[0,qi][0,q_i][0,qi]次来组成某个因子。

积性函数σ\sigmaσ

σ:σk(n)=∑d∣ndk\sigma:\sigma_k(n)=\sum_{d|n}d^kσ:σk(n)=∑d∣ndk 表示n的所有因数的k次方之和（注意不是和的k次方）。证明如下：

需要证明：σk(nm)=σk(n)×σk(m)(k>=0)\sigma_k(nm)=\sigma_k(n)\times\sigma_k(m)~~~(k>=0)σk(nm)=σk(n)×σk(m) (k>=0)

设集合 N={ai∣1≤i≤k}N=\{a_i|1\leq i \leq k\}N={ai∣1≤i≤k} 为 n 的所有因子的集合，集合M={bj∣1≤j≤k′}M=\{b_j|1\leq j \leq k'\}M={bj∣1≤j≤k′}的所有因子的集合。

∵gcd⁡(n,m)=1\because~\gcd(n,m)=1∵ gcd(n,m)=1 ∴gcd(ai,bj)=1\therefore gcd(a_i,b_j)=1∴gcd(ai,bj)=1

∴\therefore∴ N与 M的交集为空，即 ∀i,jai≠bj\forall i,j~~~a_i\neq b_j∀i,j ai=bj

∴\therefore∴将集合N中的元素与集合M中的元素一一相乘，就能得到n×mn\times mn×m的所有因子。

∴σk(nm)=∑i=1k∑j=1k′(ai×bj)k=∑i=1k∑j=1k′aik×bjk\therefore\sigma_k(nm)=\sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{k'} (a_i \times b_j)^k=\sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{k'} a_i^k\times b_j^k∴σk(nm)=∑i=1k∑j=1k′(ai×bj)k=∑i=1k∑j=1k′aik×bjk

∵σk(n)=∑i=1kaik，σk(m)=∑j=1k′bjk\because \sigma_k(n)=\sum_{i=1}^k a_i^k~~，~\sigma_k(m)=\sum_{j=1}^{k'}b_j^k∵σk(n)=∑i=1kaik ， σk(m)=∑j=1k′bjk

∴σk(n)×σk(m)=∑i=1kaik×∑j=1k′bjk=∑i=1k∑j=1k′aik×bjk\therefore \sigma_k(n)\times \sigma_k(m)=\sum_{i=1}^k a_i^k\times \sum_{j=1}^{k'}b_j^k=\sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{k'}a_i^k \times b_j^k∴σk(n)×σk(m)=∑i=1kaik×∑j=1k′bjk=∑i=1k∑j=1k′aik×bjk

∴σk(nm)=σk(n)×σk(m)\therefore \sigma_k(nm)=\sigma_k(n)\times \sigma_k(m)∴σk(nm)=σk(n)×σk(m)

根据这个积性函数，上面求nnn的全部因子和是kkk等于111的情况。

我们对nnn进行质因子分解，对于一个质因子ppp，设它的次幂为qqq，则它的因子之和就是(1+p+⋯+pq)(1+p+\cdots+p^{q})(1+p+⋯+pq)。

对于nnn的互不相同的质因子，两两互质，就能直接将他们乘起来，得到σ1(n)\sigma_1(n)σ1(n)的值。

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