Lagrange插值法

2024-05-11 09:42:38

Lagrange插值公式：

P(x)=∑k=0nLn,k(x)f(xk)P(x) = \sum_{k=0}^{n}L_{n,k}(x) f(x_{k})P(x)=∑k=0nLn,k(x)f(xk)

Ln,k(x)=∏i=0,i≠knx−xixk−xiL_{n,k}(x) = \prod_{i=0,i\neq k}^{n}\frac{x-x_{i}}{x_{k}-x_{i}}Ln,k(x)=∏i=0,i̸=knxk−xix−xi ,k = 0,1,2,…,n
=(x−x0)(x−x1)...(x−xk−1)(x−xk+1)...(x−xn)(xk−x0)(xk−x1)...(xk−xk−1)(xk−xk+1)...(xk−xn)\qquad = \frac{(x-x_{0})(x-x_{1})...(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})...(x-x_{n})}{(x_{k}-x_{0})(x_{k}-x_{1})...(x_{k}-x_{k-1})(x_{k}-x_{k+1})...(x_{k}-x_{n})}=(xk−x0)(xk−x1)...(xk−xk−1)(xk−xk+1)...(xk−xn)(x−x0)(x−x1)...(x−xk−1)(x−xk+1)...(x−xn)

Lagrange插值法的算法已知条件：

（1）(x0,f(x0)),(x1,f(x1)),...,(xn,f(xn)).(x_{0},f(x_{0})),(x_{1},f(x_{1})),...,(x_{n},f(x_{n})).(x0,f(x0)),(x1,f(x1)),...,(xn,f(xn)).
（2）n
（3）所要进行内插的点xax_{a}xa.
（4）Lagrange插值法的公式。

C语言简单实现如下：

#include<cstdio>
#include<iostream>using namespace std;double x[30];//x值
double f[30];//对应的y值
double xa;//待求的y值所给出的x值
double l;//l(k)的值
double ans;//结果int main()
{int n;while(cin>>n&&n){cin>>xa;for(int i=0;i<=n;i++)cin>>x[i]>>f[i];ans=0.0;for(int k=0;k<=n;k++){l=1.0;for(int i=0;i<=n;i++)//计算l(k){if(k!=i)l=l*(xa-x[i])/(x[k]-x[i]);}ans=ans+l*f[k];}printf("The value of P(%.4lf)=%.4lf\n\n",xa,ans);}return 0;
}
/*
三组测试用例：
3
1.5
1.0  0.0
2.0  0.693
3.0  1.099
4.0  1.3863
1.5
1.0  0.000
1.2  0.182
1.4  0.336
2.0  0.6939
1.5
1.0  0.000
1.2  0.182
1.7  0.531
2.0  0.693
2.2  0.788
2.7  0.993
3.0  1.099
3.2  1.163
3.7  1.308
4.0  1.386*/

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