MATLAB——数值插值之拉格朗日（Lagrange）插值法

由于MATLAB中没有现成的拉格朗日插值命令，因此我们可以根据Lagrange插值法的定义编写一个Lagrange插值命令。

定义：

给定n个插值节点x1,x2,...,xn和各个节点对应的函数值y1,y2,...yn,利用拉格朗日插值多项式公式 $L_{n}(x)=\sum y_{i}l_{i}(x),$ (注：k从0到n累加)，其中， $l_{i}(x)=\frac{(x-x_{0})...(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})...(x-x_{n})}{(x_{i}-x_{0})...(x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})...(x_{i}-x_{n})}$ ，则可以得到在插值区间内的任意x的函数值y为 $y(x)=L_{n}(x)$ 。从公式中可以看出，生成的多项式与用来插值的数据密切相关，数据变化则函数就要重新计算。

以下为M语言编写的函数文件lagrange.m

%拉格朗日插值命令
function yy=lagrange(x,y,xx)
%Lagrange 插值，求数据（x,y）所表达式的函数在插值点xx处的插值
m=length(x);
n=length(y);
if m~=nerror('向量x,y长度必须一致');
end
s=0;
for i=1:nt=ones(1,length(xx));for j=1:nif j~=it=t.*(xx-x(j))/(x(i)-x(j));endends=s+t*y(i);
end
yy=s;

读者可以自己找一个题目自行实验，通过画出的图像可以发现，拉格朗日插值的一个明显的特点为——拟合出的多项式通过原x,y的每一个对应的点。

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