【BZOJ5077】【UOJ198】【CTSC2016】时空旅行

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【思路要点】

我们发现所有星球的\(y\)和\(z\)坐标没有实质作用，问题仅和\(x\)和\(c\)有关。

令询问给出的横坐标为\(qx\)，那么一个属性为\((x,c)\)的星球被探索的代价为\((qx-x)^2+c=qx^2-2x*qx+(x^2+c)\)。显然\(qx^2\)只和询问有关，因此我们需要求\(-2x*qx+(x^2+c)\)的最小值，令\(k=-2x,b=x^2+c\)，则要求的是\(k*qx+b\)的最小值。

令\(k_1>k_2\)，则\((k_1,b_1)\)优于\((k_2,b_2)\)的充要条件为\(k_1*qx+b_1≤k_2*qx+b_2\)，也即\(-qx≥\frac{b_1-b_2}{k_1-k_2}\)，容易看出，我们可以通过类似斜率优化的方式维护一个\((k,b)\)的下凸壳来快速找到最优解。

在原树的DFS序上建立线段树，则每一个星球存在的时空是线段树上一段或多段区间，这样的区间的总数是\(O(N)\)的。在线段树定位到的每一个区间中加入\((k,b)\)并维护下凸壳，对于每个询问，查询包含询问点的所有区间的答案，取最小值。

直接使用平衡树维护每个凸壳，询问时在凸壳上二分，时间复杂度为\(O(NLog^2N)\)（\(N\)、\(M\)同阶）。

考虑离线操作，并将星球按照\(k\)排序，依次加入线段树，就可以用单调队列来维护凸壳了。

同样地，我们离线询问，将询问按照\(-qx\)排序，依次询问，在线段树每个节点的询问就可以达到均摊\(O(1)\)的时间复杂度。

时间复杂度\(O(NLogN)\)（\(N\)、\(M\)同阶）。

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 500005;
const int MAXP = 7e6 + 5;
const long long INF = 1e18;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = max(x, y); }
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = min(x, y); }
template <typename T> void read(T &x) {x = 0; int f = 1;char c = getchar();for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';x *= f;
}
template <typename T> void write(T x) {if (x < 0) x = -x, putchar('-');if (x > 9) write(x / 10);putchar(x % 10 + '0');
}
template <typename T> void writeln(T x) {write(x);puts("");
}
struct SegmentTree {struct Node {int lc, rc;int head, tail;} a[MAXN * 2];int n, root, size, tot;int nxt[MAXP], pre[MAXP];long long k[MAXP], b[MAXP];void build(int &root, int l, int r) {root = ++size;if (l == r) return;int mid = (l + r) / 2;build(a[root].lc, l, mid);build(a[root].rc, mid + 1, r);}void init(int x) {n = x;root = size = 0;build(root, 1, n);}void insert(int root, int l, int r, int ql, int qr, long long vk, long long vb) {if (l == ql && r == qr) {if (a[root].tail) {if (k[a[root].tail] == vk) {if (vb >= b[a[root].tail]) return;else {a[root].tail = pre[a[root].tail];nxt[a[root].tail] = 0;if (a[root].tail == 0) a[root].head = 0;}}while (a[root].tail != a[root].head) {int tmp = a[root].tail;int tnp = pre[tmp];if ((vk - k[tnp]) * (b[tmp] - b[tnp]) >= (k[tmp] - k[tnp]) * (vb - b[tnp])) {a[root].tail = pre[a[root].tail];nxt[a[root].tail] = 0;} else break;}if (a[root].tail) {nxt[a[root].tail] = ++tot;pre[tot] = a[root].tail;k[tot] = vk, b[tot] = vb;a[root].tail = tot;} else {a[root].head = a[root].tail = ++tot;k[tot] = vk, b[tot] = vb;}} else {a[root].head = a[root].tail = ++tot;k[tot] = vk, b[tot] = vb;}return;}int mid = (l + r) / 2;if (mid >= ql) insert(a[root].lc, l, mid, ql, min(mid, qr), vk, vb);if (mid + 1 <= qr) insert(a[root].rc, mid + 1, r, max(mid + 1, ql), qr, vk, vb);}void insert(int l, int r, long long vk, long long vb) {insert(root, 1, n, l, r, vk, vb);}long long query(int root, int l, int r, int pos, long long x) {long long ans = INF;if (a[root].head) {ans = k[a[root].head] * x + b[a[root].head];while (a[root].head != a[root].tail) {int tmp = nxt[a[root].head];long long tnp = k[tmp] * x + b[tmp];if (tnp <= ans) {ans = tnp;a[root].head = nxt[a[root].head];pre[a[root].head] = 0;} else break;}}if (l == r) return ans;int mid = (l + r) / 2;if (mid >= pos) chkmin(ans, query(a[root].lc, l, mid, pos, x));else chkmin(ans, query(a[root].rc, mid + 1, r, pos, x));return ans;}long long query(int pos, long long x) {return query(root, 1, n, pos, x);}
} ST;
vector <int> a[MAXN], del[MAXN];
int n, m, fa[MAXN], ins[MAXN];
int timer, dfn[MAXN], rit[MAXN];
long long k[MAXN], b[MAXN];
int to[MAXN]; long long x[MAXN], ans[MAXN];
void dfs(int pos) {dfn[pos] = ++timer;for (unsigned i = 0; i < a[pos].size(); i++)dfs(a[pos][i]);rit[pos] = timer;
}
bool cmp(int x, int y) {return k[x] < k[y];
}
bool cnp(int x, int y) {return dfn[x] < dfn[y];
}
bool mmp(int a, int b) {return x[a] > x[b];
}
int main() {read(n), read(m), read(b[1]); ins[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {int opt; read(opt);read(fa[i]), fa[i]++;a[fa[i]].push_back(i);int id; read(id), id++;if (opt == 0) {ins[id] = i;long long x, y, z, c;read(x), read(y), read(z), read(c);k[id] = -2 * x, b[id] = c + x * x;} else del[id].push_back(i);}dfs(1);static int pos[MAXN];for (int i = 1; i <= n; i++)pos[i] = i;sort(pos + 1, pos + n + 1, cmp);ST.init(n);for (int i = 1; i <= n; i++) {int tmp = pos[i];if (ins[tmp] == 0) continue;sort(del[tmp].begin(), del[tmp].end(), cnp);int lft = dfn[ins[tmp]];for (unsigned i = 0; i < del[tmp].size(); i++) {int tnp = del[tmp][i];if (dfn[tnp] != lft) ST.insert(lft, dfn[tnp] - 1, k[tmp], b[tmp]);lft = rit[tnp] + 1; }if (lft <= rit[ins[tmp]]) ST.insert(lft, rit[ins[tmp]], k[tmp], b[tmp]);}for (int i = 1; i <= m; i++) {read(to[i]), read(x[i]), to[i]++;pos[i] = i;}sort(pos + 1, pos + m + 1, mmp);for (int i = 1; i <= m; i++) {int tmp = pos[i];ans[tmp] = ST.query(dfn[to[tmp]], x[tmp]) + x[tmp] * x[tmp];}for (int i = 1; i <= m; i++)printf("%lld\n", ans[i]);return 0;
}

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