【Derivation】正态分布特征函数证明-X~N(a,sigma^2)

求证：φ（u）=ejau−12u2σ2 ,t∈R\varphi（u）=e^{jau-\frac{1}{2}u^2\sigma^2} \ \ \ , t\in R
证：

- φ（u）=∫+∞−∞ejuxf(x)dx
  
  \varphi（u）=\int _ {-\infty} ^ {+\infty} e^{jux}f(x)dx
  
  =∫+∞−∞ejux12πσ2−−−−√e−(x−a)22σ2dx
  
  =\int_ {-\infty}^{+\infty} e^{jux} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{- \frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}}dx
整理，得：
φ（u）=12πσ2−−−−√∫+∞−∞ejuxe−(x−a)22σ2dx

\varphi（u）= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\int _ {-\infty} ^ {+\infty} e^{jux} e^{- \frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}}dx
- beacuse |jxejuxe−(x−a)22σ2|≤|x|ejuxe−(x−a)22σ2|jx e^{jux} e^{- \frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}}| \leq |x| e^{jux} e^{- \frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}} and 12π√|x|ejuxe−(x−a)22σ2<+∞ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}|x| e^{jux} e^{- \frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}} , soso 可以对φ（u）\varphi（u）求uu的一阶导数，
有：
φ′（u）=12πσ2−−−−√∫+∞−∞jx ejuxe−(x−a)22σ2dx

\varphi \prime（u）= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\int _ {-\infty} ^ {+\infty} {jx}\ e^{jux} e^{- \frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}}dx
综合可推：

j(u−jaσ2)φ(u)+jφ′(u)σ2

j{(u-j\frac{a}{\sigma^2})\varphi (u)}+\frac{j{\varphi \prime(u) } } {\sigma^2}

=

=

12πσ2−−−−√∫+∞−∞(ju−x−aσ2) ejuxe−(x−a)22σ2dx=

\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\int _ {-\infty} ^ {+\infty} { ( ju-\frac{x-a}{\sigma^2} })\ e^{jux} e^{- \frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}}dx =

12πσ2−−−−√∫+∞−∞(ju−x−aσ2) ejux−(x−a)22σ2dx

\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\int _ {-\infty} ^ {+\infty} { ( ju-\frac{x-a}{\sigma^2} })\ e^{jux- \frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}}dx

=12πσ2−−−−√∫+∞−∞1dejux−(x−a)22σ2

=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\int _ {-\infty} ^ {+\infty} 1de^{jux- \frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}}

=12πσ2−−−−√[ejux−(x−a)22σ2]|+∞−∞=0

=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}[e^{jux- \frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}}]|_{-\infty}^{+\infty}=0
即得微分方程

uφ(u)−jaσ2φ(u)+φ′(u)σ2=

{u\varphi (u)-j\frac{a}{\sigma^2}\varphi (u)}+\frac{{\varphi \prime(u) } } {\sigma^2}=

(uσ2−ja)φ(u)+φ′(u)=0

{(u\sigma^2 -ja)}{\varphi (u)}+{\varphi \prime(u) } =0
即得微分方程
++++分水岭，从后往前推+++++++

φ(u)+φ′(u)uσ2−ja

{\varphi (u)}+\frac{{\varphi \prime(u) } } {u\sigma^2 -ja}

=uφ(u)+φ′(u)σ2−jau=0

={u\varphi (u)}+\frac{{\varphi \prime(u) } } {\sigma^2 -\frac{ja}{u}}=0

求解：

φ′(u)φ(u)=−uσ2+ja

\frac{\varphi\prime(u)}{\varphi(u)}=-u\sigma^2+ja

解得：

lnφ(u)=−12u2D(x)+jau+C

\ln\varphi (u)=-\frac{1}{2}u^2D(x)+jau+C
进一步化简：

φ(u)=eCe−12u2D(x)+jau

\varphi (u)=e^Ce^{-\frac{1}{2}u^2D(x)+jau}

令u=0,eC=φ(0)=E[E(j0X)]=E[e0]=1u=0,e^C=\varphi(0)=E[E^(j0X)]=E[e^0]=1,故C=0;C=0;

代入通解为：

φ(u)=ejau−12u2D(x)

\varphi (u)=e^{jau-\frac{1}{2}u^2D(x)}
由以上推导，正态分布特征函数表达式 得证

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