P4043 [AHOI2014/JSOI2014]支线剧情（有源汇上下界最小费用可行流）

传送门

约束每个点至少要经过一次，因此是上下界网络流。

每经过边都需要相应的边权，且要求耗费边权之和最小，因此是最小费用流。

存在多个终点，需要建立汇点 ttt ，因此是有源汇网络流。

即：有源汇上下界最小费用可行流。

建图

本题中结点 111 即可作为源点。

对于原图中存在的所有边，建下界为 111，上界为 infinfinf ，费用为对应边权的边。

由于存在多个终点，需要建立汇点 t1t1t1，将除了 111 号点外的所有边向 t1t1t1 连容量为 infinfinf 费用为 000 的边。

新建平衡源点 s2s2s2 和平衡汇点 t2t2t2，使原图中的点流量平衡。（具体原理和操作可见：网络流中有关上下界限制的学习笔记）

跑平衡源点 s2s2s2 到平衡汇点 t2t2t2 的最小费用最大流，即为可行流。注意由于每个边的下界为 111 ，因此最终答案还需要加上所有边的费用 ∗1*1∗1。

参考代码

#include <bits/stdc++.h>
#define itn int
#define int long long
#define endl "\n"
#define PII pair<int, int>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10;
const int M = 5e4 + 10;
const itn inf = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1e9 + 7;
// const int mod = 998244353;template <int N>
struct MCMF {struct E {int to, cap, val, inv;};vector<E> g[N];int dis[N], now[N], h[N], pre[N], preu[N];void add(int u, int v, int f, int w) {g[u].push_back({v, f, w, (int)g[v].size()});g[v].push_back({u, 0, -w, (int)g[u].size() - 1});}void dijkstra(int st) {priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>,greater<pair<int, int>>>q;memset(dis, 0x3f, sizeof dis);memset(pre, -1, sizeof pre);memset(preu, -1, sizeof preu);dis[st] = 0;q.push({0, st});while (q.size()) {// auto [d, u] = q.top();auto qnow = q.top();int d = qnow.first, u = qnow.second;q.pop();if (dis[u] < d)continue;int x = 0;for (auto gnow : g[u]) {int v = gnow.to, f = gnow.cap, w = gnow.val, inv = gnow.inv;if (f && dis[v] > dis[u] + w + h[u] - h[v]) {dis[v] = dis[u] + h[u] - h[v] + w;pre[v] = x;preu[v] = u;q.push({dis[v], v});}x++;}}}pair<int, int> min_cost_max_flow(int st, int ed) {memset(h, 0, sizeof h);for (int flow = 0, cost = 0, res = inf;; res = inf) {dijkstra(st);if (dis[ed] > inf)return {flow, cost};for (int i = 0; i < N; i++) {h[i] += dis[i];}for (int i = ed; i != st; i = preu[i]) {res = min(res, g[preu[i]][pre[i]].cap);}flow += res;cost += res * h[ed];for (int i = ed; i != st; i = preu[i]) {g[i][g[preu[i]][pre[i]].inv].cap += res;g[preu[i]][pre[i]].cap -= res;}}}
};
MCMF<505> mcmf;
int n, m, s1, t1, s2, t2;
int in[N];void ins(int u, int v, int l, int r, int w) {mcmf.add(u, v, r - l, w);in[u] -= l, in[v] += l;
}void solve() {cin >> n;s1 = n + 1, t1 = n + 2;s2 = n + 3, t2 = n + 4;int sum = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {int k;cin >> k;while (k--) {int v, w;cin >> v >> w;ins(i, v, 1, inf, w);sum += w;}}for (int i = 2; i <= n; i++) {mcmf.add(i, t1, inf, 0);}for (int i = 1; i <= t1; i++) {if (in[i] < 0)mcmf.add(i, t2, -in[i], 0);else if (in[i] > 0)mcmf.add(s2, i, in[i], 0);}mcmf.add(t1, 1, inf, 0);cout << mcmf.min_cost_max_flow(s2, t2).second + sum;
}signed main() {ios_base::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);cout << fixed << setprecision(12);// init();int T = 1;// cin >> T;while (T--) {solve();}return 0;
}

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