截部分陈宏对用线段树解矩形并的轮廓（picture 问题的深入讨论)

Picture问题的深入讨论

基于对数据结构选择的进一步分析，我们来重新考虑一下Picture问题的数据结构的选择，即采用树形结构来描述一组超元线段的状态。

一、线段树

受到累计扫描过程的启发，一组超元线段属于轮廓的数目，它与跨越该组超元线段的矩形的纵向边位置关系密切。不妨把矩形的纵向边投影到Y轴上，这样就把矩形的纵向边看作闭区间，并称之为闭区间Q。我们以“线段树”的树形数据结构来描述闭区间Q。作为工具，先简单研究线段树的特点。

线段树是描述单个或若干区间并的树形结构，属于平衡树的一种。使用线段树要求知道所描述的区间端点可能取到的值。换句话说，设A[1..N]是从小到大排列的区间端点集合，对于任意一个待描述的闭区间P=[x,y]，存在1≤i≤j≤N使得x=a[i]且y=a[j]，这里i, j称为x,y的编号。可以看到，即使是实数坐标，在线段树中也只有整数含义。以下所说的区间[x, y]如无特殊说明，x、y均是整数，即原始区间顶点坐标的编号。

线段树是一棵二叉树，将数轴划分成一系列的初等区间[I, I+1] (I=1—N-1)。每个初等区间对应于线段树的一个叶结点。线段树的内部结点对应于形如[ I, J ](J – I > 1)的一般区间。一般情况下，线段树的结点类型定义如下：

Type

Lines_Tree = Object

i, j : integer; {结点表示的区间的顶点标号I, J}

count : integer; {覆盖这一结点的区间数}

leftchild, rightchild : ↑Lines_Tree; {二叉树的两个子结点}

end

关于Lines_Tree的其它数据域与定义的运算将陆续添加。图8是一棵线段树，描述的区间端点可以有10种取值。其中记录着一个区间[3，6]，它用红色的[3，5]及[5，6]的并采表示。图中红色结点的count域值为1，黑色结点的count域值为0。

直观地看，子结点就是父结点区间平均分成两部分。设L, R是父结点的区间端点，我们可以增加Lines_Tree.Build(l,r : integer)递归地定义线段树如下:

Procedure Lines_tree.Build(l, r : integer)

1 I ß l {左端点}

2 J ß r {右端点}

3 Count ß 0 {初始化}

4 If r - l > 1 {是否需要生成子结点，若r-l=1则是初等区间}

5 then k ß (l + r) / 2 {平均分为两部分}

6 new(leftchild)

7 leftchild↑.Build(l, k) {建立左子树}

8 new(rightchild)

9 rightchild↑.Build(k, r) {建立右子树}

10 else leftchild ß nil

11 rightchild ß nil

设根结点是Root，建树需要执行Root.Build。

由递归定义看出，线段树是一棵平衡树，高度为^┌logN^┐。建立整棵树需要的时间为O(N)。

以上着重说明了线段树的存储原理，我们还应建立线段树的基本运算。

线段树可以存储多个区间，所以支持区间插入运算Lines_Tree.Insert(l, r :integer)，定义如下：

Procedure Lines_Tree.Insert(l,r : integer)

{[l, r]是待插入区间，l、r都是原始顶点坐标}

1 if (l <= a[i]) and (a[j] <= r)

2 then count ß count + 1 {盖满整个结点区间}

3 else if l< a[(i + j) div 2] {是否能覆盖到左孩子结点区间}

4 then leftchild↑.Insert(l, r) {向左孩子插入}

5 if r > a[(i + j) div 2 ] {是否能覆盖到右孩子结点区间}

6 then rightchild↑.Insert(l, r) {向右孩子插入}

类似地，线段树支持区间的删除Lines_Tree.Delete(l, r : integer)，定义如下：

Procedure Lines_Tree.Delete(l,r : integer)

{[l, r]是待删除区间，l、r都是原始顶点坐标}

1 if (l <= a[i]) and (a[j] <= r)

2 then count ß count - 1 {盖满整个结点区间}

3 else if l< a[(i + j) div 2 ] {是否能覆盖到左孩子结点区间}

4 then leftchild↑.Delete(l, r) {向左孩子删除}

5 if r > a[(i + j) div 2 ]{是否能覆盖到右孩子结点区间}

6 then rightchild↑.Delete(l, r) {向右孩子删除}

执行Lines_Tree.Delete(l, r : integer) 的先决条件是区间[l, r]曾被插入且还未删除。如果建树后插入区间[2，5]而删除区间[3，4]是非法的。

通过分析插入与删除的路径，可知Lines_Tree.Insert与Lines_Tree.Delete的时间复杂度均为O(logN)。(详见[附录1])

由于线段树给每一个区间都分配了结点，利用线段树可以求区间并后的测度与区间并后的连续段数。

(一)、测度

由于线段树结构递归定义，其测度也可以递归定义。增加数据域Lines_Tree.M表示以该结点为根的子树的测度。M取值如下：

a[j] – a[i] 该结点Count>0

M = 0 该结点为叶结点且Count=0

Leftchild↑.M + Rightchild↑.M 该结点为内部结点且Count=0

据此，可以用Lines_Tree.UpData来动态地维护Lines_Tree.M。UpData在每一次执行Insert或Delete之后执行。定义如下：

Procedure Lines_Tree.UpData

1 if count > 0

2 then M ß a[j] – [i] {盖满区间，测度为a[j] – a[i]}

3 else if j - i = 1 {是否叶结点}

4 then M ß 0 {该结点是叶结点}

5 else M ß Leftchild↑.M + Rightchild↑.M
{内部结点}

UpData的复杂度为O(1)，则用UpData来动态维护测度后执行根结点的Insert与Delete的复杂度仍为O(logN)。

(二)、连续段数

这里的连续段数指的是区间的并可以分解为多少个独立的区间。如[1，2]∪[2，3]∪[5，6]可以分解为两个区间[1，3]与[5，6]，则连续段数为2。增加一个数据域Lines_Tree.line表示该结点的连续段数。Line的讨论比较复杂，内部结点不能简单地将左右孩子的Line相加。所以再增加Lines_Tree.lbd与Lines_Tree.rbd域。定义如下：

1 左端点I被描述区间盖到

lbd =

0 左端点I不被描述区间盖到

1 右端点J被描述区间盖到

rbd =

0 右端点J不被描述区间盖到

lbd与rbd的实现：

1 该结点count > 0

lbd = 0 该结点是叶结点且count = 0

leftchild↑.lbd 该结点是内部结点且Count=0

1 该结点count > 0

rbd = 0 该结点是叶结点且count = 0

rightchild↑.rbd 该结点是内部结点且Count=0

有了lbd与rbd，Line域就可以定义了：

1 该结点count > 0

Line = 0 该结点是叶结点且count = 0

Leftchild↑.Line + Rightchild↑.Line - 1
当该结点是内部结点且Count=0，Leftchild↑.rbd =1且Rightchild↑.lbd =1

Leftchild↑.Line + Rightchild↑.Line
当该结点是内部结点且Count=0，Leftchild↑.rbd与Rightchild↑.lbd不都为1

据此，可以定义UpData’动态地维护Line域。与UpData相似，UpData’也在每一次执行Insert或Delete后执行。定义如下：

Procedure Lines_Tree.UpData’

1 if count > 0 {是否盖满结点表示的区间}

2 then lbd ß 1

3 rbd ß 1

4 Line ß 1

5 else if j - i = 1 {是否为叶结点}

6 then lbd ß 0 {进行到这一步，如果为叶结点，
count = 0}

7 rbd ß 0

8 line ß 0

9 else line ß Leftchild↑.line + Rightchild↑.line -

Leftchild↑.rbd * Rightchild↑.lbd

{用乘法确定Leftchild↑.rbd与Rightchild↑.lbd是否同时为1}

同时，由于增加了Line、M等几个数据域，在建树Lines_Tree.Build时要将新增的域初始化。

至此，线段树构造完毕，完整的线段树定义如下：

Lines_Tree = object

i, j : integer;

count : integer;

line : integer;

lbd, rbd : byte;

m : integer;

leftchild,

rightchild : ↑Lines_tree;

procedure Build(l, r : integer);

procedure Insert(l, r : integer);

procedure Delete(l, r : integer);

procedure UpData;

procedure UpData’;

end

有了线段树这个工具，可以考虑利用树形结构来描述一组超元线段的状态。

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