非齐次线性方程的通解和特解

设有非齐次线性方程组
{a11x1+a12x2+⋯a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯a2nxn=b2⋯am1x1+am2x2+⋯amnxn=bm(1)\begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots a_{1n} x_n = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots a_{2n} x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots a_{mn} x_n = b_m \end{cases} \tag{1} ⎩⎨⎧a11x1+a12x2+⋯a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯a2nxn=b2⋯am1x1+am2x2+⋯amnxn=bm(1)
(1)(1)(1) 式可写作向量方程
Ax=b(2)\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} \tag{2} Ax=b(2)
有对应的齐次线性方程组
Ax=0(3)\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} \tag{3} Ax=0(3)
关于非齐次线性方程租的解与其对应的齐次线性方程组，有如下两个性质和证明：

性质 1　设 x=η1\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\eta}_1x=η1 及 x=η2\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\eta}_2x=η2 都是向量方程 (2)(2)(2) 的解，则 x=η1−η2\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\eta}_1 - \boldsymbol{\eta}_2x=η1−η2 为对应的其次线性方程组 (3)(3)(3) 的解。

证明　因为 A(η1−η2)=Aη1−Aη2=b−b=0\boldsymbol{A} (\boldsymbol{\eta}_1 - \boldsymbol{\eta}_2) = \boldsymbol{A} \boldsymbol{\eta}_1 - \boldsymbol{A} \boldsymbol{\eta}_2 = \boldsymbol{b} - \boldsymbol{b} = \boldsymbol{0}A(η1−η2)=Aη1−Aη2=b−b=0，所以 x=η1−η2\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\eta}_1 - \boldsymbol{\eta}_2x=η1−η2 满足方程 (3)(3)(3)。得证。

性质 2　设 x=η\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\eta}x=η 是方程 (2)(2)(2) 的解，x=ξ\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\xi}x=ξ 是方程 (3)(3)(3) 的解，则 x=ξ+η\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\xi} + \boldsymbol{\eta}x=ξ+η 仍是方程 (2)(2)(2) 的解。

证明　因为 A(ξ+η)=Aξ+Aη=0+b=b\boldsymbol{A}(\boldsymbol{\xi} + \boldsymbol{\eta}) = \boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi} + \boldsymbol{A} \boldsymbol{\eta} = \boldsymbol{0} + \boldsymbol{b} = \boldsymbol{b}A(ξ+η)=Aξ+Aη=0+b=b，所以 x=ξ+η\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\xi} + \boldsymbol{\eta}x=ξ+η 满足方程 (2)(2)(2)。得证。

根据以上两个性质，有非齐次线性方程的通解和特解的定义及证明如下：

定理　如果有非齐次线性方程的一个解 η∗\boldsymbol{\eta}^*η∗（称为特解），那么非齐次线性方程的通解为
x=k1ξ1+⋯kn−rξn−r+η∗(k1,⋯,kn−r为任意实数)(4)\boldsymbol{x} = k_1 \boldsymbol{\xi}_1 + \cdots k_{n-r} \boldsymbol{\xi}_{n-r} + \boldsymbol{\eta}^* \hspace{1em} (k_1,\cdots,k_{n-r} 为任意实数) \tag{4} x=k1ξ1+⋯kn−rξn−r+η∗(k1,⋯,kn−r为任意实数)(4)
其中 ξ1,⋯,ξn−r\boldsymbol{\xi}_1,\cdots,\boldsymbol{\xi}_{n-r}ξ1,⋯,ξn−r 是对应齐次线性方程的基础解系。

证明　首先证明满足 (4)(4)(4) 式的 x\boldsymbol{x}x 都是方程 (2)(2)(2) 的解。根据性质 2，显然可知满足 (4)(4)(4) 式的 x\boldsymbol{x}x 都是方程 (2)(2)(2) 的解。

接着证明所有方程 (2)(2)(2) 的解都满足 (4)(4)(4) 式。设 x0\boldsymbol{x}^{0}x0 为方程 (2)(2)(2) 的任一解，由性质 1 可知，x0−η∗\boldsymbol{x}^{0} - \boldsymbol{\eta}^*x0−η∗ 是方程 (3)(3)(3) 的解，从而可以用方程 (3)(3)(3) 的基础解系线性表示为
x0−η∗=k10ξ1+k20ξ2+⋯kn−r0ξn−r\boldsymbol{x}^{0} - \boldsymbol{\eta}^* = k_1^0 \boldsymbol{\xi}_1 + k_2^0 \boldsymbol{\xi}_2 + \cdots k_{n-r}^0 \boldsymbol{\xi}_{n-r} x0−η∗=k10ξ1+k20ξ2+⋯kn−r0ξn−r
即
x0=k10ξ1+k20ξ2+⋯kn−r0ξn−r+η∗\boldsymbol{x}^{0} = k_1^0 \boldsymbol{\xi}_1 + k_2^0 \boldsymbol{\xi}_2 + \cdots k_{n-r}^0 \boldsymbol{\xi}_{n-r} + \boldsymbol{\eta}^* x0=k10ξ1+k20ξ2+⋯kn−r0ξn−r+η∗
上式显然满足 (4)(4)(4) 式。得证。

至此，我们就得到了非齐次线性方程的解的结构：

非齐次线性方程的通解 = 对应的齐次方程的通解 + 非齐次方程的一个特解。

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