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待定系数法求二阶常系数非齐次线性方程特解 - DearXuan的主页https://blog.dearxuan.com/2022/06/04/%E5%BE%85%E5%AE%9A%E7%B3%BB%E6%95%B0%E6%B3%95%E6%B1%82%E4%BA%8C%E9%98%B6%E5%B8%B8%E7%B3%BB%E6%95%B0%E9%9D%9E%E9%BD%90%E6%AC%A1%E7%BA%BF%E6%80%A7%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%89%B9%E8%A7%A3/

解法说明

设方程

其中 P(x) 是关于x的多项式

先求出特征方程的两个根 r1, r2，得到通解，下面使用待定系数法求出特解

若 r 是特征方程的根，则令

其中 Q(x) 是与 P(x) 同次的多项式，下面同理

若 r 不是特征方程的根，则令

展开 Q(x)，得到

代入原方程，即可解出 Q(x)

例题1

显然特征方程的根为 1 和 0，先求出对应的齐次方程的解，得到

将方程右边拆开并转换成ex的形式，得到

显然 r1 和 r2 都是特征根，则令

代入原方程，得到

解出 a = 1, b = -1, c = -2, d = -3

因此原方程通解为

例题2

与上题步骤一致，先拆分出

显然 r = 2 不是特征根，则第一条方程取 Q(x) = ax2+bx+c，第二条方程取 Q(x) = ax2+bx

注意这两条方程并不是方程组，仅仅是为了方便而写在一起

解出未知数的值

因此原方程通解为

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待定系数法求二阶常系数非齐次线性方程特解

解法说明

例题1

例题2

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