【数学分析】数列的上极限与下极限

1.确界存在定理：非空有上界的数集必有上确界，非空有下界的数集必有下确界

2.Bolzano-Weierstrass 定理：有界数列必有收敛子列

不同子列可能会收敛到不同的极限

对于这种情况

引入极限点的概念：

即对于一个有界数列，存在它的一个子列所收敛于 a，则称 a 为的一个极限点。

极限点不止一个

设集合E ， E = {a | a 是的极限点} 即 E = { 极限点 }

E 有界，根据确界存在定理，上确界，下确界

根据对 E 的观察，考虑 H 于 h 是否也在 E 中。

定理：E 的上确界和下确界均属于 E，即

由此

引入数列上极限与下极限的定义

上极限： 1.属于 E 2. 若 x>上极限，则 x 从某项开始，大于数列的所有项

换句话说数列的上极限即为数列无穷远处的最大值

下极限： 2.属于 E 2. 若 x<下极限，则 x 从某项开始，小于数列的所有项

数列的下极限即为数列在无穷远处的最小值

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