邻接矩阵中啥时候写0和无穷_集合中的上极限与下极限

这次总结一个数学中经常出现的概念：集合中的上极限与下极限，并举一个简单的例子进行说明，接着再对于概率论中的Borel-Cantelli引理做一个简单介绍.

1. 定义

对于一个集合序列

，我们定义它的

「上极限」与「下极限」分别为：

2. 举个例子

不妨设想下面这个

的例子：

接下来我们以这样一个集合序列

为例，观察上极限

和下极限

的情况.

2.1 上极限

根据公式（1）中的定义，可以看到「上极限

」是对于

的先并再交.

我们不妨假设样本点

属于上极限.首先看里面这个并集：当

时，可以将

近似看所有集合的并集（简记为

, 本例中为

），那么

中必然包含所有的样本点，

自然包含于其中。当

时，这个并集

可以看成是除了

所有集合的并集（简记为

, 本例中为

）.

当

与

取交集时，

就可以不再考虑，如果

仅属于

的话，那么

中就不再包含

. 以此类推，我们一个接一个的丢掉

、

…，若

只属于有限个

，那么在取上极限的过程中早晚有一天要被无情的抛弃.在本例中，上极限取为

（因为

只在

中存在，所以早早就出局了ಥ_ಥ）

因此「上极限」可以理解成 「在无穷个

集合中都存在的元素的集合」.当走到这一步时我曾有一个疑问，

的上极限和对

单纯地取交集有什么不同吗?从本例中就可以看出，对

取交集即

会取到空集，因为没有一个元素是所有集合都有的.区别就在于上极限中的元素

只需要属于无穷多个集合即可，不需要每个集合里都有.

因此上极限也可以这样表述：

这也是

所暗含的意思.

2.2 下极限

类似的，观察公式（2）中的定义，可以看到「下极限

」是对于

的先交再并.

首先看里面这个交集：当

时，可以将

近似看所有集合的交集（简记为

, 本例中为

）;当

时，这个交集

可以看成是除了

外所有集合的交集（简记为

, 本例中为

）,最终发现下极限为

此时发现下极限中没有元素

。其原因是：虽然它们存在于无数多个集合中，但同样的，也有无数个集合内没有元素

或

。这就涉及到了上极限和下极限的一个关键区别.

「下极限」中的元素是这样的：它们「只在有限个集合里不存在」（比如该例中的

，只不存在于

），这其实也暗含了下极限的元素一定存在于无数多的集合中，因此下极限的元素一定存在于上极限中.

类似的，也可以把下极限这样表述：

3. Borel-Cantelli引理

infinitely often

这里简单介绍一下 infinitely often 的概念。在概率论中,所谓的

(infinitely often)就是表示集合序列

的上极限

「引理1」：

「引理2」：

这个引理在概率论的直观解释就是抛无限次硬币，出现无限次正面朝上的概率为1，出现有限次反面朝上的概率为0.

从测度论也很好理解.如果一系列独立事件发生的概率和小于无穷，那么这些事件中无穷多次发生的事件的概率测度必为0，否则这无限多个集合每个测度都不小于

，加在一起就无穷大了；反之如果一系列独立事件发生的概率和趋向无穷，那么这些事件中无穷多件发生的概率为1.

不积跬步，无以致千里

这个引理的逻辑很简单且直白，只不过是说的很拗口.这同样反映出另一个浅显的道理：即使每一次努力尝试后取得成功的概率再低——只要不是0——那么在我们无数次尝试后，最终总会达到自己的目标.更何况我们的每次尝试并不是完全独立的，每次失败后的收获都将增加下一次成功的概率.

「Learn to fail，or fail to lean」

本人水平有限，欢迎批评指正(ง •_•)ง

-end-