C++(数据结构与算法):42---优先级队列的实现（扩充二叉树、高度优先左高树(HBLT)、重量优先左高树(WBLT)）
2024-05-11 04:42:44
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- 方式1：公众号【多栖技术控小董】回复【3586】免费获取下载链接
- 方式2：CSDN下载链接：https://download.csdn.net/download/qq_41453285/12046050
- 方式3：Github下载链接（进入之后下载里面的maxHblt.zip文件）：https://github.com/dongyusheng/Interview-algorithm/tree/master/c%2B%2BAlgorithms
- 前面文章介绍了用堆实现优先级队列：https://blog.csdn.net/qq_41453285/article/details/103639243
- 用堆实现优先级队列的空间利用率很高，而且效率也很高，但是并不适用于所有优先级队列，尤其当两个优先级队列或多个长度不同的队列需要合并的时候，这时就需要其他的数据结构了，左高树就能满足这种需要
- 堆与左高树的异同：
- WBLT、HBLT可以执行优先级队列的查找、插入、删除操作，时间复杂度与堆相同
- WBLT、HBLT和堆一样，可以在线性时间内完成初始化
- 用WBLT、HBLT表示的两个优先级队列可以在对数时间内合并为一个，而桶堆表示的优先级队列却不行
一、扩充二叉树
- 如果一棵二叉树，有一类特殊的节点叫做外部节点，它替代树中的空子树。其余节点叫做内部节点
- 增加了外部节点的二叉树称为扩充二叉树
- 例如下图a是一棵二叉树，下图b是图a的扩充二叉树（外部节点用[a-f]表示）
高度s的定义
- 令s(x)是节点x到其子树的外部节点的所有路径中最短的一条，则有：
- 若x是外部节点，则s(x)=0
- 若x是内部节点，则s(x)=min{s(L),s(R)+1}，其中L、R分别代码左、右孩子
- 例如，下面的扩充二叉树（图b），每个节点的s值如图c所示
重量w的定义
- 如果不以路径长度s来对左高树进行定义，而是以节点数目来定义，那么就可以得到另一种左高树
- 节点的重量（w）：
- 若x是外部节点，则w(x)=0
- 若x是内部节点，则w(x)=w(子节点的重量)+1
- 例如，下面的扩充二叉树，每个节点的w值如下图所示
二、高度优先左高树(HBLT)
- 定义：当且仅当其任何一个内部节点的左孩子的s值都大于或等于右孩子的s值，称为高度优先左高树(height-biased leftist tree，HBLT)
- 例如下图就是一个高度优先左高树(HBLT)，其中阴影部分代表外部节点
定理
- 令x为HBLT的一个内部节点，则有：
- 1).以x为根的子树的节点数目至少为
- 2).若以x为根的子树有m个节点，那么s(x)最多为
- 3).从x到一外部节点的最右路径（即从x开始沿右孩子移动的路径）的长度为s(x)
最大HBLT、最小HBLT
- 若一棵HBLT同是还是大根树，那么称之为最大HBLT（max HBLT），可用于实现最大优先级队列
- 若一棵HBLT同是还是小根树，那么称之为最小HBLT（min HBLT），可用于实现最小优先级队列
- 例如下图3个都是最大HBLT
- 例如下图3个都是最小HBLT
最大HBLT的插入
- 最大HBLT的插入操作可利用最大HBLT的合并操作来实现
- 插入的策略：
- 1.假设元素x要插入名为H的最大HBLT中
- 2.先建立一棵新的只包含x元素的HBLT
- 3.然后将这棵新的HBLT与名为H的HBLT进行合并
- 4.合并之后的HBLT就为插入之后最终的HBLT
最大HBLT的删除
- 最大HBLT与大根堆一样，最大元素在根中。因此删除操作也是删除根节点
- 删除操作也是利用最大HBLT的合并操作来实现
- 删除的策略：
- 1.若根被删除，则分别以根节点的左右孩子节点为根的子树是两棵最大HBLT
- 2.然后将这棵最大HBLT合并，之后便是删除后的结果
两棵HBLT的合并
- 具有n个元素的HBLT，其最右路径的长度为O(
)。一个算法要合并两棵HBLT，只能在遍历其最右路径中进行。由于在每个节点上实施合并所需时间为O(1)，所以合并算法的时间复杂性是合并后节点数的对数。因此算法从两棵HBLT的根开始仅沿右孩子移动
- 合并的策略：
- 1.假设A、B是两棵需要合并的最大HBLT。如果一者为空，则另一个便是合并的结果；如果两者均不为空，则进行以下步骤
- 2.先比较两个HBLT的根，较大者的根作为合并后的HBLT的根
- 3.假设A的根大于B，且A的左子树为L
- 4.然后将A的右子树与B合并，然后形成一棵名为C的HBLT（如果A没有右子树，那B就什么都不做）
- 5.然后将C与A合并
- 6.如果L的s值小于C的s值，则以C为左子树，L为右子树；否则，L为左子树，C为右子树
- 合并的策略需要使用递归来实现（因为通过上面的步骤我们知道，如果将A的右子树与B进行合并，也是一次HBLT合并的操作，因此是递归的特性）
- 下面的演示案例中：每个节点的s值标在节点的外部，元素的值标在节点的里面。并且根较大的树我们放置在左边，右边的HBLT用阴影表示
- 演示案例1：
- 1.假设a)是两棵想要合并的HBLT
- 2.因为9的右子树为空，所以就不存在9的右子树与7进行合并的操作
- 3.然后将7与9为根的HBLT进行合并（图b)所示）
- 4.合并之后9的左子树的s值为0（也就是外部节点的s值），而右子树（7）的s值为1，因此将7作为9的左子树。最终合并的结果如c)所示
- 演示案例2：
- 1.假设d)是两棵想要合并的HBLT
- 2.因为10的右子树为空，所以就不存在10的右子树与7进行合并的操作
- 3.然后将7与9为根的HBLT合并（如图e)所示）
- 4.合并之后检查10的左子树的s值与右子树的s值相等，因此就不交换。最终的结果如图e)所示
- 演示案例3：
- 1.假设f)是两棵想要合并的HBLT
- 2.18的右子树不为空，因此需要将18的右子树与10为根的HBLT进行合并，合并之后的结果如上图e)所示
- 3.18的右子树与10为根的HBLT合并之后产生一个新的HBLT，然后将这个HBLT作为18的右子树（如图g)所示）
- 4.合并之后，然后开始比较18的左右子树的s值，比较之后，发现18的右子树的s值比左子树的s值大，因此需要将左右子树进行互换。互换之后的结果如h)所示，这也是最终的合并结果
- 演示案例4：
- 1.假设i)是两棵想要合并的HBLT
- 2.因为40的右子树不为空，因此将40的右子树与以18为根的HBLT进行合并，合并的结果就是我们上面所介绍的h)所示
- 3.合并之后将h)作为20的右子树（如图j)所示）
- 4.合并之后，然后开始比较40的左右子树的s值，比较之后，发现40的右子树的s值比左子树的s值大，因此需要将左右子树进行互换。互换之后的结果如k)所示，这也是最终的合并结果
最大HBLT的初始化
- 初始化过程是将n个元素逐个插入最初为空的最大HBLT，所需时间为O(
)。并且也用到了合并操作
- 初始化的策略：
- 1.首先创建n个仅包含一个元素的最大HBLT，将这n棵树组成一个FIFO队列
- 2.然后从队列中依次成对删除HBLT，然后将其合并后再插入队列末尾，直到队列只有一棵HBLT位置
- 演示案例：
- 1.假设我们希望构造一棵最大HBLT，其具有5个元素：7、1、9、11、2
- 2.先将这5个元素做个分别作为5棵单独的HBLT，然后组成一个FIFO队列
- 3.接着从队列中取出一对HBLT进行合并（上面可以看出是7和1这两个HBLT），将7和1进行合并（如图a)所示）
- 4.然后将7和1组成的HBLT放入到队列的尾部
- 5.接着从队列头部再次取出两棵HBLT，此时为9和11，然后将9和11组成一棵HBLT（如图b)所示）
- 6.然后将9和11组成的HBLT放入到队列的尾部（注意，此时队列中只有3棵HBLT了）
- 7.然后从队列中再取出两棵HBLT进行合并，此时取出的是1和7、2组成的HBLT，然后将两者合并（如图c所示）
- 8.然后将合并后的结果放入到队列尾部（注意，此时队列中只有2棵HBLT了）
- 9.最后队列中只有两棵HBLT了（就是c)和b)），然后将b)和c)进行合并，最终的结果如d)所示
二、重量优先左高树(WBLT)
- 定义：当且仅当其任何一个内部节点的左孩子的w值都大于或等于其右孩子的w值，称为重量优先左高树(wieght-biased leftist tree，WBLT)
- 最大HBLT、最小HBLT：
- 若一棵WBLT同是还是大根树，那么称之为最大WBLT（max WBLT），可用于实现最大优先级队列
- 若一棵WBLT同是还是小根树，那么称之为最小WBLT（min WBLT），可用于实现最小优先级队列
- 与HBLT异同：
- 同HBLT类似，具有m个节点的WBLT的最右路径长度最多为
- WBLT的查找、插入、删除、合并、初始化和HBLT的类似，所以可以参考上面HBLT的操作
- 同HBLT类似，具有m个节点的WBLT的最右路径长度最多为
三、编码实现（最大HBLT）
头文件定义
#include <iostream> #include <string> #include <queue>using std::cout; using std::endl; using std::cin; using std::string; using std::pair; using std::queue;异常类定义
class illegalParameterValue {string message; public:illegalParameterValue(const char *theMessage = "Illegal Parameter Value") :message(theMessage) {}const char *what() {return message.c_str();} };class queueEmpty { public:queueEmpty(string theMessage = "Invalid operation on empty queue"){message = theMessage;}const char *what() {return message.c_str();} private:string message; };
树节点定义
- 用来表示树中的每一个节点
template<typename T> struct binaryTreeNode {T element;struct binaryTreeNode<T>* leftChild, *rightChild;binaryTreeNode() { this->leftChild = this->rightChild = nullptr; }binaryTreeNode(const T& theElement) :element(theElement) {this->leftChild = this->rightChild = nullptr;}binaryTreeNode(const T& theElement,const struct binaryTreeNode<T>* theLeftChild,const struct binaryTreeNode<T>* theRightChild) :element(theElement) {this->leftChild = theLeftChild;this->rightChild = theRightChild;} };抽象类定义
template<typename T> class maxPriorityQueue { public:virtual ~maxPriorityQueue() {}virtual bool empty()const = 0;//当队列为空返回true;否则返回falsevirtual int size()const = 0;//返回队列的元素个数virtual const T& top() = 0;//返回优先级最大的元素的引用virtual void pop() = 0; //删除队首元素virtual void push(const T& theElement) = 0;//插入元素theElement };
主类定义
- 主类继承于maxPriorityQueue抽象类
- 其中每个树节点类型为std::pait<int,T>类型
- int：代表每个节点的s值
- T：代表每个节点的数值
template<typename T> class maxHblt :public maxPriorityQueue<T> { public:maxHblt() { this->root = nullptr; this->treeSize = 0;}~maxHblt() { erase(); }bool empty()const override {//当队列为空返回true;否则返回falsereturn this->treeSize == 0;}int size()const override { //返回队列的元素个数return this->treeSize;}const T& top()override { //返回优先级最大的元素的引用if (this->treeSize == 0)throw queueEmpty();return this->root->element.second;}void pop()override; //删除队首元素void push(const T& theElement)override;//插入元素theElementvoid initialize(T* theElement, int theSize);//初始化一个HBLTvoid erase(); //清空树void meld(maxHblt<T>& theHblt); //将本棵HBLT与参数所指的HBLT进行合并，内部调用私有方法meldvoid preOrderOutput()const { preOrder(this->root); }void inOrderOutput()const { inOrder(this->root); }void postOrderOutput()const { postOrder(this->root); }private:void preOrder(binaryTreeNode<std::pair<int, T>>* x)const;void inOrder(binaryTreeNode<std::pair<int, T>>* x)const;void postOrder(binaryTreeNode<std::pair<int, T>>* x)const;void clearTree(binaryTreeNode<std::pair<int, T>>* t);void meld(binaryTreeNode<std::pair<int,T>>* &x, binaryTreeNode<std::pair<int,T>>*& y); private:binaryTreeNode<std::pair<int,T>>* root; //根节点int treeSize; //树的大小 };meld函数
- 根据上面介绍的HBLT合并原理，定义了此函数，用来合并两棵HBLT树
//将x和y两棵HBLT合并 template<typename T> void maxHblt<T>::meld(binaryTreeNode<std::pair<int, T>>* &x, binaryTreeNode<std::pair<int, T>>*& y) {//如果y为空，不进行合并if (y == nullptr)return;//如果x为空，那么就将y赋值给xif (x == nullptr){x = y;return;}//如果x的值小于y的值，进行交换if (x->element.second < y->element.second)std::swap(x, y);//将x的右子节点与y合并。如果x没有右子节点，那么就将y设置为x的右子节点meld(x->rightChild, y);//如果x的左子节点为空，将右子节点设置为左子节点if (x->leftChild == nullptr) {x->leftChild = x->rightChild;x->rightChild = nullptr;//因为把右子节点赋值给左子节点了，所以右子节点为空了，那么本节点的s值就为1了x->element.first = 1;}else //如果左子节点不为空，比较是否需要交换{//如果左子节点的s值比右子节点的小，那么就进行交换if (x->leftChild->element.first < x->rightChild->element.first) {std::swap(x->leftChild, x->rightChild);}//因为右子节点到外部节点之间的s值是最小的，所以就将x的s值设置为右子节点的s值+1x->element.first = x->rightChild->element.first + 1;} }pop、push函数定义
- 根据上面最大HBLT的删除、原理定义了下面的函数，都调用了meld合并函数
template<typename T> void maxHblt<T>::pop() {//如果HBLT为空，不能出队列if (this->treeSize == 0)throw queueEmpty();//得到根节点的左右子节点binaryTreeNode<std::pair<int, T>>* left = this->root->leftChild,*right=this->root->rightChild;//删除根节点，将左子节点变为新根节点，然后进行合并delete this->root;this->root = left;meld(this->root, right);this->treeSize--; }template<typename T> void maxHblt<T>::push(const T& theElement) {//创建一个新节点binaryTreeNode<std::pair<int, T>> *q = new binaryTreeNode<std::pair<int, T>>(std::pair<int,T>(1, theElement));//将新节点与本HBLT进行合并this->meld(this->root,q);this->treeSize++; }erase、clearTree函数
- erase用来清空整个HBLT树，调用了clearTree函数
template<typename T> void maxHblt<T>::erase() {//调用clearTreeclearTree(this->root);this->root = nullptr;this->treeSize = 0; }template<typename T> void maxHblt<T>::clearTree(binaryTreeNode<std::pair<int, T>>* t) {//后序遍历删除if (t){clearTree(t->leftChild);clearTree(t->rightChild);delete t;} }initialize函数
- 根据上面介绍的FIFO初始化HBLT原则，定义了此函数
template<typename T> void maxHblt<T>::initialize(T* theElement, int theSize) {//创建一个队列，用来初始化HBLTstd::queue<binaryTreeNode<std::pair<int, T>>*> q;//清空当前HBLTerase();//先建立一组HBLT，每个HBLT中只有一个节点for (int i = 1; i <=theSize; ++i)q.push(new binaryTreeNode<std::pair<int, T>>(std::pair<int, T>(1, theElement[i])));//theSize个HBLT，需要合并theSize-1次for (int i = 1; i <= theSize - 1; ++i){//从队列中取出两个HBLT进行合并binaryTreeNode<std::pair<int, T>>* b = q.front();q.pop();binaryTreeNode<std::pair<int, T>>* c = q.front();q.pop();//合并meld(b, c);//合并之后再次放入到队列中q.push(b);}if (theSize > 0)this->root = q.front();this->treeSize = theSize; }打印函数
- 分别为前序遍历、中序遍历、后序遍历
template<typename T> void maxHblt<T>::preOrder(binaryTreeNode<std::pair<int, T>>* x)const {if (x){std::cout << x->element.second<<" ";preOrder(x->leftChild);preOrder(x->rightChild);} }template<typename T> void maxHblt<T>::inOrder(binaryTreeNode<std::pair<int, T>>* x)const {if (x){inOrder(x->leftChild);std::cout << x->element.second << " ";inOrder(x->rightChild);} }template<typename T> void maxHblt<T>::postOrder(binaryTreeNode<std::pair<int, T>>* x)const {if (x){postOrder(x->leftChild);postOrder(x->rightChild);std::cout << x->element.second << " ";} }复杂度分析
演示案例1
int main() {maxHblt<int>* myMaxHblt = new maxHblt<int>();myMaxHblt->push(7);myMaxHblt->push(5);myMaxHblt->push(10);myMaxHblt->push(3);myMaxHblt->preOrderOutput();std::cout << std::endl;myMaxHblt->inOrderOutput();std::cout << std::endl;myMaxHblt->postOrderOutput();std::cout << std::endl;std::cout << std::endl;myMaxHblt->pop();myMaxHblt->preOrderOutput();std::cout << std::endl;myMaxHblt->inOrderOutput();std::cout << std::endl;myMaxHblt->postOrderOutput();std::cout << std::endl;std::cout << std::endl;return 0; }
- 演示结果如下图所示：
- 根据插入原则，其步骤如下
- 当pop一个元素之后（删除根节点10），其步骤如下
演示案例2
int main() {maxHblt<int>* myMaxHblt = new maxHblt<int>();int arr[5] = { 0,7,5,10,3 };myMaxHblt->initialize(arr,4);myMaxHblt->preOrderOutput();std::cout << std::endl;myMaxHblt->inOrderOutput();std::cout << std::endl;myMaxHblt->postOrderOutput();std::cout << std::endl;std::cout << std::endl;myMaxHblt->pop();myMaxHblt->preOrderOutput();std::cout << std::endl;myMaxHblt->inOrderOutput();std::cout << std::endl;myMaxHblt->postOrderOutput();std::cout << std::endl;std::cout << std::endl;return 0; }
- 这个演示案例调用了intialize函数，元素与演示案例1都是一样的，结果应该与演示案例1一样（备注：但是不知道为什么，结果与演示案例1不一样，待更新）
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