矩阵篇（二）-- 线性变换的矩阵表示、常用变换及其矩阵、常见的特殊矩阵

1 线性变换与矩阵

1.1 线性变换及其运算

定义
        设 V V V 是数域 K K K 上的线性空间， T T T 是 V V V 到自身的一个映射，使得对于 V V V 中的任意元素 x \boldsymbol{x} x 均存在唯一的 y ∈ V \boldsymbol{y} \in V y∈V 与之对应，则称 T T T 为 V V V 的一个变换或算子，记为：
T ( x ) = y (1-1) T(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{y} \tag{1-1} T(x)=y(1-1)
        称 y \boldsymbol{y} y 为 x \boldsymbol{x} x 在变换 T T T 下的象， x \boldsymbol{x} x 为 y \boldsymbol{y} y 的原象（或象源）。
        如果数域 K K K 上的线性空间 V V V 的一个变换 T T T 具有下列性质（齐次可加性）：对任意 x , y ∈ V ， k , l ∈ K \boldsymbol{x, y} \in V，k, l \in K x,y∈V，k,l∈K，都有， T ( k x + l y ) = k T ( x ) + l T ( y ) (1-2) T(k\boldsymbol{x} + l\boldsymbol{y}) = kT(\boldsymbol{x}) + lT(\boldsymbol{y}) \tag{1-2} T(kx+ly)=kT(x)+lT(y)(1-2)
        则称 T T T 为 V V V 的一个线性变换或线性算子。
性质
（1）线性变换把零元素仍变为零元素
（2）负元素的象为原来元素的象的负元素
（3）线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组
注：线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无关的，变换后的情况与元素组和线性变换有关。若线性变换 T T T 将所有的元素组仍变换为线性无关的元素组，则称之为满秩的线性变换，其变换矩阵为满秩矩阵。
线性变换的运算
（1）恒等变换(单位变换) T e ： ∀ x ∈ V ， T e x = x T_e： \forall \boldsymbol{x} \in V， T_e\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x} Te：∀x∈V，Tex=x
（2）零变换 T 0 ： ∀ x ∈ V ， T 0 x = 0 T_0：\forall \boldsymbol{x} \in V， T_0\boldsymbol{x} = 0 T0：∀x∈V，T0x=0
（3）变换的相等： T 1 、 T 2 T_1、T_2 T1、T2 是 V V V 的两个线性变换， ∀ x ∈ V \forall \boldsymbol{x} \in V ∀x∈V，均有 T 1 x = T 2 x T_1\boldsymbol{x} = T_2\boldsymbol{x} T1x=T2x，则称 T 1 = T 2 T_1 = T_2 T1=T2
（4）线性变换的和 T 1 + T 2 ： ∀ x ∈ V ， ( T 1 + T 2 ) x = T 1 x + T 2 x T_1 + T_2：\forall \boldsymbol{x} \in V，(T_1+T_2)\boldsymbol{x} = T_1\boldsymbol{x} +T_2\boldsymbol{x} T1+T2：∀x∈V，(T1+T2)x=T1x+T2x
（5）线性变换的数乘 k T ： ∀ x ∈ V ， ( k T ) x = k ( T x ) kT：\forall \boldsymbol{x} \in V，(kT)\boldsymbol{x} = k(T\boldsymbol{x}) kT：∀x∈V，(kT)x=k(Tx)
负变换： ( − T ) x = − ( T x ) (-T)\boldsymbol{x} = -(T\boldsymbol{x}) (−T)x=−(Tx)
（6）线性变换的乘积 T 1 T 2 ： ∀ x ∈ V ， ( T 1 T 2 ) x = T 1 ( T 2 x ) T_1T_2：\forall \boldsymbol{x} \in V，(T_1T_2)\boldsymbol{x} = T_1(T_2\boldsymbol{x}) T1T2：∀x∈V，(T1T2)x=T1(T2x)
（7）逆变换 T − 1 ： ∀ x ∈ V T^{-1}：\forall \boldsymbol{x} \in V T−1：∀x∈V，若存在线性变换 S S S 使得 ( S T ) x = ( T S ) x = x (ST)\boldsymbol{x} = (TS)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x} (ST)x=(TS)x=x，则称 S S S 为 T T T 的逆变换，即 S = T − 1 S = T^{-1} S=T−1
（8）线性变换的多项式：
T n = T T ⋯ T ⏟ n ，并规定 T 0 = T e f ( t ) = ∑ n = 0 N a n T n → f ( T ) x = ∑ n = 0 N a n T n x (1-3) T^n = \underbrace{TT \cdots T}_{n}，并规定 T^0 = T_e \\ f(t) = \sum_{n=0}^{N}a_nT^n \to f(T)\boldsymbol{x} = \sum_{n=0}^{N}a_nT^n\boldsymbol{x} \tag{1-3} Tn=n TT⋯T，并规定T0=Tef(t)=n=0∑NanTn→f(T)x=n=0∑NanTnx(1-3)
注：和矩阵的乘积一样，线性变换的乘积不满足交换律；不是所有的变换都具有逆变换，只有满秩变换才有逆变换， S T = T e ST = T_e ST=Te。

1.2 线性变换的矩阵表示

1. 推导
设 T T T 是线性空间 V n V_n Vn 的线性变换， x ∈ V n \boldsymbol{x} \in V_n x∈Vn，且 x 1 , x 2 , ⋯ , x n \boldsymbol{x_1, x_2, \cdots, x_n} x1,x2,⋯,xn 是 V n V_n Vn的一个基，则有：
x = a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n T x = a 1 ( T x 1 ) + a 2 ( T x 2 ) + ⋯ + a n ( T x n ) (1-4) \boldsymbol{x} = a_1\boldsymbol{x_1}+a_2\boldsymbol{x_2}+ \cdots +a_n\boldsymbol{x_n} \\ \quad T\boldsymbol{x} = a_1(T\boldsymbol{x_1})+a_2(T\boldsymbol{x_2})+ \cdots +a_n(T\boldsymbol{x_n}) \tag{1-4} x=a1x1+a2x2+⋯+anxnTx=a1(Tx1)+a2(Tx2)+⋯+an(Txn)(1-4)
这表明， V n V^n Vn 中任一向量 x \boldsymbol{x} x 的象由基象组 T x 1 ， T x 2 ， ⋯ ， T x n T\boldsymbol{x_1}，T\boldsymbol{x_2}，\cdots，T\boldsymbol{x_n} Tx1，Tx2，⋯，Txn 唯一确定。因为基象组仍属于 V n V_n Vn，故可令

{ T x 1 = a 11 x 1 + a 21 x 2 + ⋯ + a n 1 x n , T x 2 = a 12 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a n 2 x n , ⋯ ⋯ T x n = a 1 n x 1 + a 2 n x 2 + ⋯ + a n n x n , (1-5) \begin{cases} T\boldsymbol{x_1} = a_{11}\boldsymbol{x_1} + a_{21}\boldsymbol{x_2} + \cdots + a_{n1}\boldsymbol{x_n},\\ T\boldsymbol{x_2} = a_{12}\boldsymbol{x_1} + a_{22}\boldsymbol{x_2} + \cdots + a_{n2}\boldsymbol{x_n}, \\ \qquad\qquad\qquad\quad\cdots \cdots \\ T\boldsymbol{x_n} = a_{1n}\boldsymbol{x_1} + a_{2n}\boldsymbol{x_2} + \cdots + a_{nn}\boldsymbol{x_n}, \end{cases} \tag{1-5} ⎩ ⎨ ⎧Tx1=a11x1+a21x2+⋯+an1xn,Tx2=a12x1+a22x2+⋯+an2xn,⋯⋯Txn=a1nx1+a2nx2+⋯+annxn,(1-5)
        即
T x i = ∑ j = 1 n a j i x i （ i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ） (1-6) T\boldsymbol{x_i}=\sum_{j=1}^{n}a_{ji}\boldsymbol{x_i} \qquad （i= 1，2，\cdots，n）\tag{1-6} Txi=j=1∑najixi（i=1，2，⋯，n）(1-6)
        采用矩阵乘法的形式，式(1-5)可表示为
T ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = d e f （ T x 1 , T x 2 , ⋯ , T x n ） = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) A (1-7) T(\boldsymbol{x_1}, \boldsymbol{x_2}, \cdots, \boldsymbol{x_n}) \overset{def}{=} （T\boldsymbol{x_1}, T\boldsymbol{x_2}, \cdots, T\boldsymbol{x_n}）= (\boldsymbol{x_1}, \boldsymbol{x_2}, \cdots, \boldsymbol{x_n})\boldsymbol{A} \tag{1-7} T(x1,x2,⋯,xn)=def（Tx1,Tx2,⋯,Txn）=(x1,x2,⋯,xn)A(1-7)
        其中
A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] (1-8) \boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{bmatrix} \tag{1-8} A=⎣ ⎡a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋮⋯a1na2nann⎦ ⎤(1-8)

矩阵 A \boldsymbol{A} A 的第 i i i 列恰是 T x i T\boldsymbol{x_i} Txi 的坐标( i = 1 , 2 , ⋯ , n i = 1, 2, \cdots, n i=1,2,⋯,n)。

式(1-7)中的矩阵 A \boldsymbol{A} A 称为 T T T 在 V n V_n Vn 基 x 1 , x 2 , ⋯ , x n \boldsymbol{x_1}, \boldsymbol{x_2}, \cdots, \boldsymbol{x_n} x1,x2,⋯,xn 下的矩阵，简称 A \boldsymbol{A} A 为 T T T 的矩阵。
注： 对于任意 n n n 阶矩阵 A \boldsymbol{A} A 存在唯一的一个线性变换 T T T。所以线性变换可以用矩阵来表示。
T 0 T_0 T0 的矩阵为 O \boldsymbol{O} O， T e T_e Te 的矩阵为 I \boldsymbol{I} I， T m T_m Tm 的矩阵为 m I m\boldsymbol{I} mI（数量矩阵）。

详细推导，请阅读：线性代数笔记——线性变换及对应矩阵。
2. 定理

定理一：设 x 1 , x 2 , ⋯ , x n \boldsymbol{x_1, x_2, \cdots, x_n} x1,x2,⋯,xn 是 V n V^n Vn 的一个基， T 1 、 T 2 T_1、T_2 T1、T2 在该基下的矩阵分别为 A 、 B \boldsymbol{A、B} A、B。则有：
（1） ( T 1 + T 2 ) [ x 1 , x 2 , ⋯ , x n ] = [ x 1 , x 2 , ⋯ , x n ] ( A + B ) (T_1 + T_2)[\boldsymbol{x_1, x_2, \cdots, x_n}] = [\boldsymbol{x_1, x_2, \cdots, x_n}](\boldsymbol{A+B}) (T1+T2)[x1,x2,⋯,xn]=[x1,x2,⋯,xn](A+B)
（2） k T [ x 1 , x 2 , ⋯ , x n ] = [ x 1 , x 2 , ⋯ , x n ] ( k A ) kT[\boldsymbol{x_1, x_2, \cdots, x_n}] = [\boldsymbol{x_1, x_2, \cdots, x_n}](k\boldsymbol{A}) kT[x1,x2,⋯,xn]=[x1,x2,⋯,xn](kA)
（3） ( T 1 T 2 ) [ x 1 , x 2 , ⋯ , x n ] = [ x 1 , x 2 , ⋯ , x n ] ( A B ) (T_1 T_2)[\boldsymbol{x_1, x_2, \cdots, x_n}] = [\boldsymbol{x_1, x_2, \cdots, x_n}](\boldsymbol{AB}) (T1T2)[x1,x2,⋯,xn]=[x1,x2,⋯,xn](AB)
（4） T − 1 [ x 1 , x 2 , ⋯ , x n ] = [ x 1 , x 2 , ⋯ , x n ] A − 1 T^{-1}[\boldsymbol{x_1, x_2, \cdots, x_n}] = [\boldsymbol{x_1, x_2, \cdots, x_n}]\boldsymbol{A}^{-1} T−1[x1,x2,⋯,xn]=[x1,x2,⋯,xn]A−1
定理二：设线性变换 T T T 在 V n V^n Vn 的基 x 1 , x 2 , ⋯ , x n \boldsymbol{x_1, x_2, \cdots, x_n} x1,x2,⋯,xn 下的矩阵 A = ( a i j ) \boldsymbol{A}=(a_{ij}) A=(aij)，向量 x \boldsymbol{x} x 在该基下的坐标是 ( ξ 1 , ξ 2 , ⋯ , ξ n ) T (\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n)^T (ξ1,ξ2,⋯,ξn)T，则 T x T\boldsymbol{x} Tx 在该基下的坐标 ( η 1 , η 2 , ⋯ , η n ) T (\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n)^T (η1,η2,⋯,ηn)T 满足
( η 1 , η 2 , ⋯ , η n ) T = A ( ξ 1 , ξ 2 , ⋯ , ξ n ) T (1-9) (\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n)^T = \boldsymbol{A}(\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n)^T \tag{1-9} (η1,η2,⋯,ηn)T=A(ξ1,ξ2,⋯,ξn)T(1-9)
定理三：设 V n V^n Vn 的线性变换 T T T，对于 V n V^n Vn 的两个基 x 1 , x 2 , ⋯ , x n \boldsymbol{x_1, x_2, \cdots, x_n} x1,x2,⋯,xn 和 y 1 , y 2 , ⋯ , y n \boldsymbol{y_1, y_2, \cdots, y_n} y1,y2,⋯,yn 的矩阵依次是 A \boldsymbol{A} A 和 B \boldsymbol{B} B，并且
y 1 , y 2 , ⋯ , y n = x 1 , x 2 , ⋯ , x n C (1-10) \boldsymbol{y_1, y_2, \cdots, y_n} = \boldsymbol{x_1, x_2, \cdots, x_n}\boldsymbol{C} \tag{1-10} y1,y2,⋯,yn=x1,x2,⋯,xnC(1-10)
则可以得到： B = C − 1 A C \boldsymbol{B} = \boldsymbol{C}^{-1}\boldsymbol{AC} B=C−1AC。

矩阵和线性变换之间的关系：矩阵本身描述了一个坐标系，矩阵与矩阵的乘法描述了一个运动（线性变换）。换言之：如果矩阵仅仅自己出现，那么他描述了一个坐标系，如果他和另一个矩阵或向量同时出现，而且做乘法运算，那么它表示运动（线性变换）。

补充： 对线性变换直观的理解可以参考视频：线性代数的本质 - 03 - 矩阵与线性变换和线性代数的本质 - 04 - 矩阵乘法与线性变换复合，学习笔记：https://zhuanlan.zhihu.com/p/111123005

2 常用变换及其矩阵

2.1 正交变换与正交矩阵

1. 定义
设 V V V 是一个欧式空间， T T T 是 V V V 上的一个线性变换，如果对于任何向量 x , y ∈ V \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in V x,y∈V，变换 T T T 恒能使下式成立（即不改变向量的內积）：
( T ( x ) , T ( y ) ) = ( x , y ) (2-1) (T(\boldsymbol{x}), T(\boldsymbol{y})) = (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \tag{2-1} (T(x),T(y))=(x,y)(2-1)
则称 T T T 是 V V V 上的正交变换。
2. 性质

定理一：设 T T T 是欧式空间 V V V 上的线性变换，下面写出的任一条件都是 T T T 成为正交变换的充要条件：
（1）T 是向量长度保持不变，即：对任何 x ∈ V \boldsymbol{x} \in V x∈V，有
( T ( x ) , T ( x ) ) = ( x , x ) ； (2-2) (T(\boldsymbol{x}), T(\boldsymbol{x})) = (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x})；\tag{2-2} (T(x),T(x))=(x,x)；(2-2)
（2）任一组标准正交基经 T T T 变换后的象仍是一组标准正交基；
（3） T T T 在任意一组标准正交基下的矩阵 A \boldsymbol{A} A 满足
A T A = A A T = I 或 A − 1 = A T (2-3) \boldsymbol{A}^T\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{T}=\boldsymbol{I} \quad 或 \quad \boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{A}^{T} \tag{2-3} ATA=AAT=I或A−1=AT(2-3)
定理二：在欧氏空间中，正交变换在标准正交基下的矩阵是正交矩阵；反过来，如果线性变换 T T T 在标准正交基下的矩阵是正交矩阵，则 T T T 是正交变换。

2.2 对称变换与对称矩阵

1. 定义
设 V V V 是一个欧式空间， T T T 是 V V V 上的一个线性变换，如果对于任何向量 x , y ∈ V \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in V x,y∈V，变换 T T T 恒能使下式成立：
( T ( x ) , y ) = ( x , T ( y ) ) (2-4) (T(\boldsymbol{x}), \boldsymbol{y}) = (\boldsymbol{x}, T(\boldsymbol{y}))\tag{2-4} (T(x),y)=(x,T(y))(2-4)
则称 T T T 是 V V V 上的一个对称变换。
2. 性质

定理一： n n n 维欧氏空间 V V V 的线性变换 T T T 是对称变换的充要条件是： T T T 在标准正交基下的矩阵 A \boldsymbol{A} A 是实对称矩阵，即有 A T = A \boldsymbol{A}^{T} = \boldsymbol{A} AT=A。

2.3 Hermite变换及其矩阵

1. 定义
设 V V V 是一个酉空间， T T T 是 V V V 上的一个线性变换，如果对于任何向量 x , y ∈ V \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in V x,y∈V，变换 T T T 恒能使下式成立（即不改变向量的內积）：
( T ( x ) , y ) = ( x , T ( y ) ) (2-5) (T(\boldsymbol{x}), \boldsymbol{y}) = (\boldsymbol{x}, T(\boldsymbol{y})) \tag{2-5} (T(x),y)=(x,T(y))(2-5)
则称 T T T 是 V V V 上的一个Hermite变换（厄米特变换）。
2. 性质

定理一：Hermite变换在酉空间的标准正交基下的矩阵 A \boldsymbol{A} A 是Hermite矩阵，即 A H = A （ H 表示共轭转置） \boldsymbol{A}^{H} = \boldsymbol{A}（H 表示共轭转置） AH=A（H表示共轭转置）。

3 常见的特殊矩阵

3.1 正交矩阵

1. 定义
如果 n n n 阶实方阵 A \boldsymbol{A} A 满足 A T A = A − 1 A = I \boldsymbol{A}^T\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{I} ATA=A−1A=I，则称 A \boldsymbol{A} A 为正交矩阵，简称正交阵。

2. 性质

正交矩阵是非奇异的，且 d e t A = 1 det\boldsymbol{A}=1 detA=1或-1，（行列式等于1的正交矩阵叫正常的，等于-1的叫非正常的）。
正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵。
两个正交矩阵的乘积仍为正交矩阵。
实数域上方阵 A \boldsymbol{A} A是正交矩阵的充分必要条件是：A的行（或列）向量组为标准正交向量组。

3.2 对称矩阵

1. 定义
如果 n n n 阶方阵 A \boldsymbol{A} A 满足 A T = A \boldsymbol{A}^T=\boldsymbol{A} AT=A，则称 A \boldsymbol{A} A 为对称矩阵，简称对称阵。
2. 性质

实对称矩阵的特征值都是实数。
实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量是正交的。

3.3 酉矩阵

1. 定义
若 n n n 阶复矩阵 A \boldsymbol{A} A 满足 A H A = A A H = I \boldsymbol{A}^H\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^H=\boldsymbol{I} AHA=AAH=I，则称 A \boldsymbol{A} A 是酉矩阵。
2. 性质

酉矩阵的逆矩阵也是酉矩阵，两个有矩阵的乘积还是酉矩阵。

3.4 Hermite矩阵

1. 定义
设 A ∈ C n × n \boldsymbol{A} \in \boldsymbol{C}^{n \times n} A∈Cn×n，若 A H = A \boldsymbol{A}^H=\boldsymbol{A} AH=A，则称 A \boldsymbol{A} A 为Hermite矩阵。若 A H = − A \boldsymbol{A}^H=-\boldsymbol{A} AH=−A，则称 A \boldsymbol{A} A 为反Hermite矩阵。
2. 性质

Hermite矩阵的特征值都是实数。
Hermite矩阵的不同特征值所对应的特征向量是正交的。

3.5 正规矩阵

设 A ∈ C n × n \boldsymbol{A} \in \boldsymbol{C}^{n \times n} A∈Cn×n，若 A A H = A H A \boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^H=\boldsymbol{A}^H\boldsymbol{A} AAH=AHA，则称 A \boldsymbol{A} A 为正规矩阵。

3.6 幂等矩阵

设 A ∈ C n × n \boldsymbol{A} \in \boldsymbol{C}^{n \times n} A∈Cn×n，若 A 2 = A \boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A} A2=A，则称 A \boldsymbol{A} A 为幂等矩阵。

3.7 奇异矩阵

当 ∣ A ∣ = 0 \lvert \boldsymbol{A} \rvert=0 ∣A∣=0时， A \boldsymbol{A} A 称为奇异矩阵，否则称非奇异矩阵。由上面两定理可知： A \boldsymbol{A} A 是可逆矩阵的充分必要条件是 ∣ A ∣ ≠ 0 \lvert \boldsymbol{A} \rvert \not= 0 ∣A∣=0，即可逆矩阵就是非奇异矩阵。

3.8 初等矩阵

初等矩阵是指由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。初等变换有三种：（1）交换矩阵中某两行（列）的位置；（2）用一个非零常数 k k k 乘以矩阵的某一行（列）；（3）将矩阵的某一行（列）乘以常数 k k k 后加到另一行（列）上去。

3.9 正定矩阵

正定矩阵是一种实对称矩阵。正定二次型 f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = X T A X f(x_1, x_2, \cdots, x_n)=\boldsymbol{X}^T\boldsymbol{AX} f(x1,x2,⋯,xn)=XTAX 的矩阵 A \boldsymbol{A} A 称为正定矩阵。
（1）广义定义：设 A \boldsymbol{A} A 是 n n n 阶方阵，如果对任何非零向量 z \boldsymbol{z} z，都有 z T A z > 0 \boldsymbol{z}^T\boldsymbol{Az} >0 zTAz>0，就称 A \boldsymbol{A} A 为正定矩阵。
（2）狭义定义：一个 n n n 阶的实对称矩阵 A \boldsymbol{A} A 是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量 z \boldsymbol{z} z，都有 z T A z > 0 \boldsymbol{z}^T\boldsymbol{Az} >0 zTAz>0。

4 矩阵的等价

如果矩阵 A \boldsymbol{A} A 经有限次初等变换变成矩阵 B \boldsymbol{B} B，就称矩阵 A \boldsymbol{A} A 与 B \boldsymbol{B} B 等价。等价描述的是一种关系，满足反身性对称性以及传递性。矩阵常见的等价关系有三个，相抵，相似以及合同。相抵是一种比较弱的等价关系；相似关系是比较强的等价关系；合同关系是另一种等价关系。

4.1 矩阵的相抵

1. 定义
        设 A \boldsymbol{A} A 和 B \boldsymbol{B} B 都是 m × n m \times n m×n 阶矩阵，如果存在非奇异的 m m m 阶方阵 D \boldsymbol{D} D 和 n n n 阶方阵 C \boldsymbol{C} C，使
B = D A C (4-1) \boldsymbol{B}=\boldsymbol{DAC}\tag{4-1} B=DAC(4-1)
        成立，则称矩阵 A \boldsymbol{A} A 和 B \boldsymbol{B} B 是相抵的，记为 A ≃ B \boldsymbol{A} \simeq \boldsymbol{B} A≃B。
        相抵关系在几何上的解释：在两个不同维的线性空间 V n V^n Vn 和 V m V^m Vm 中，同一个线性算子 A \mathscr{A} A 在不同基所对应的矩阵 A \boldsymbol{A} A 和 B \boldsymbol{B} B 之间的关系。
2. 定理

定理一：相抵矩阵具有相同的秩。

4.2 矩阵的相似

1. 定义
        如果 A \boldsymbol{A} A 与 B \boldsymbol{B} B是数域 K K K 上的两个 n n n 阶方阵，如果存在非奇异的 n n n 阶方阵 C \boldsymbol{C} C，使得
B = C − 1 A C (4-2) \boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}^{-1}\boldsymbol{AC} \tag{4-2} B=C−1AC(4-2)
        成立，则称矩阵 A \boldsymbol{A} A 和 B \boldsymbol{B} B 是相似的，记为 A ∼ B \boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B} A∼B。
        几何解释：同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的；反之。如果两个矩阵相似，它们可以看做是同一个线性变换在两个不同基下的矩阵。

2. 定理

定理一：相似矩阵具有反身性，对称性与传递性。
定理二：相似矩阵有相同的迹。
定理三：相似矩阵有相同的特征多项式，特征值，行列式、秩。
定理四：相似矩阵有相同的最小多项式。

4.3 矩阵的合同

1. 定义
设 A \boldsymbol{A} A 与 B \boldsymbol{B} B是两个 n n n 阶方阵，如果存在非奇异的 n n n 阶方阵 C \boldsymbol{C} C，使得
B = C T A C (4-3) \boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{AC} \tag{4-3} B=CTAC(4-3)
成立，则称矩阵 A \boldsymbol{A} A 和 B \boldsymbol{B} B 是相合（或合同）的。

2. 定理

定理一：合同矩阵具有反身性，对称性与传递性。
定理二：合同矩阵有相同的秩、正负惯性指数。
定理三：与对称矩阵合同的矩阵是对称矩阵.
定理四：数域 K K K 上任一对称矩阵都合同于一个对角矩阵。

小结：
总之，相抵、相似、合同反映了两矩阵之间的三种内在联系，这三种关系是既有区别又有联系的，相似与合同只不过是相抵的特殊情况，而且相似与合同只有在 C T = C − 1 \boldsymbol{C}^{T}=\boldsymbol{C}^{-1} CT=C−1 时（即 C \boldsymbol{C} C为正交阵）才一致。

A \boldsymbol{A} A 与 B \boldsymbol{B} B 相抵 ⟺ P A Q = B ( P , Q 可逆 ) \Longleftrightarrow \boldsymbol{PAQ} = \boldsymbol{B}(\boldsymbol{P, Q}可逆) ⟺PAQ=B(P,Q可逆)：

⟺ A \qquad\qquad\quad\quad\Longleftrightarrow \boldsymbol{A} ⟺A 可经由初等变换化为 B \boldsymbol{B} B

⟺ A 与 B \qquad\qquad\quad\quad\Longleftrightarrow \boldsymbol{A} 与\boldsymbol{B} ⟺A与B 同型且同秩

⟺ A 与 B \qquad\qquad\quad\quad\Longleftrightarrow \boldsymbol{A}与 \boldsymbol{B} ⟺A与B 有相同的相抵标准形

A \boldsymbol{A} A 与 B \boldsymbol{B} B 相似 ⟺ P − 1 A P = B ( P 可逆 ) \Longleftrightarrow \boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{AP} = \boldsymbol{B}(\boldsymbol{P}可逆) ⟺P−1AP=B(P可逆)：

⟺ A 与 B \qquad\qquad\quad\quad\Longleftrightarrow \boldsymbol{A} 与 \boldsymbol{B} ⟺A与B有相同的秩、特征多项式、特征值、行列式

⟺ B \qquad\qquad\quad\quad\Longleftrightarrow \boldsymbol{B} ⟺B 矩阵可对角化

A \boldsymbol{A} A 与 B \boldsymbol{B} B 合同 ⟺ P T A P = B ( P 可逆 ) \Longleftrightarrow \boldsymbol{P}^{T}\boldsymbol{AP} = \boldsymbol{B}(\boldsymbol{P}可逆) ⟺PTAP=B(P可逆)：
⟺ A 与 B \qquad\qquad\quad\quad\Longleftrightarrow \boldsymbol{A} 与 \boldsymbol{B} ⟺A与B有相同的秩、正负惯性指数

参考

矩阵的合同、矩阵合同的性质、合同的应用、线性替换的矩阵上表示：https://blog.csdn.net/qq_43940950/article/details/117337790
对称矩阵、Hermite矩阵、正交矩阵、酉矩阵、奇异矩阵、正规矩阵、幂等矩阵、合同矩阵、正定矩阵：https://www.cnblogs.com/yuluoxingkong/p/8534563.html
线性变换及其矩阵：https://web.xidian.edu.cn/qlhuang/files/20150705_224234.pdf