文章目录

差分约束
- 题目-区间选点II
- 输入输出
- 解题
- 代码
拓扑序列-kahn
- 题目-猫猫向前冲
- 输入输出
- 解题
- 代码
强连通图SCC-kosaraju
- 题目-班长竞选
- 输入输出
- 解题
- 代码

差分约束

题目-区间选点II

给定一个数轴上的 n 个区间，要求在数轴上选取最少的点使得第 i 个区间 [ai, bi] 里至少有 ci 个点

输入输出

输入第一行一个整数 n 表示区间的个数，接下来的 n 行，每一行两个用空格隔开的整数 a，b 表示区间的左右端点。1 <= n <= 50000， 0 <= ai <= bi <= 50000 并且 1 <= ci <= bi - ai+1。
输出一个整数表示最少选取的点的个数
输入样例

输出样例

解题

不等式组
求x3 - x0的最大值。

观察x3 - x0的性质，我们如果可以通过不等式的两两加和得到c个形如 x3 - x0 <= Ti 的不等式，那么 min{ Ti | 0 <= i < c } 就是我们要求的x3 - x0的最大值。于是整理出以下三个不等式：
1. ```
 (3)                       x3 - x0 <= 8
```
2. ```
 (2) + (5)                 x3 - x0 <= 9
```
3. ```
 (1) + (4) + (5)           x3 - x0 <= 7
```
这里的T等于{8， 9， 7}，所以min{ T } = 7，答案就是7。
最短路
以dijkstra为例。

由于这个图比较简单，我们可以枚举所有的路线，发现总共三条路线，如下：
1. ```
  0 -> 3                       长度为8
```
2. ```
  0 -> 2 -> 3                  长度为7+2 = 9
```
3. ```
  0 -> 1 -> 2 -> 3             长度为2 + 3 + 2 = 7
```
没错与不等式最大值求解相似。
差分约束
如若一个系统由n个变量和m个不等式组成，并且这m个不等式对应的系数矩阵中每一行有且仅有一个1和-1，其它的都为0，这样的系统称为差分约束( difference constraints )系统。引例中的不等式组可以表示成如图三-1-1的系数矩阵。

则原先的不等式可以变成了以下形式：d[u] + w(u, v) >= d[v]

     if(d[u] + w(u, v) < d[v]) {d[v] = d[u] + w(u, v);}

最大值和最小值
上面说的是求最大值时，转化为<=的差分约束系统，求最短路径。
如果是最小值可以用>=的差分约束，这道题找最少选点，使用>=差分约束。
另外，>=<之间可以转换，比如：a=b可以转化为a<=b或者a>=b，a<=b转化为-a>=-b。
设计
本题中，用sum数组表示到达i点一共选了sum个点。对于输入的ai，bi，ci可以构成差分约束，而且sum[ i ]要满足0<=sum[ i ] - sum[ i-1 ]<=1。

代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>using namespace std;const int N=50005;
int head[N],ep=0,sum[N],n;
bool vis[N];
struct edge{int to,w,next;
}e[N*3]; void add_(int u,int v,int w){e[++ep].next=head[u];e[ep].w=w;e[ep].to=v;head[u]=ep;
}void SPFA(int s){memset(vis,0,sizeof(vis));int u,v,w;queue<int> q;q.push(s);vis[s]=1;while(!q.empty()){u=q.front();q.pop();vis[u]=0;for(int i=head[u];i;i=e[i].next){v=e[i].to;w=e[i].w;if(sum[v]<sum[u]+w){sum[v]=sum[u]+w;if(!vis[v]){q.push(v);vis[v]=1;}}}}
}int main(){int a,b,w,x=0;int minx=1e9,maxx=-1e9;cin>>n;memset(head,0,sizeof(head));for(int i=0;i<n;i++){cin>>a>>b>>w;a+=2;b+=2;minx=min(minx,a-1);maxx=max(maxx,b);add_(a-1,b,w);}for(int i=minx;i<=maxx;i++){add_(i,i-1,-1);add_(i-1,i,0);}for(int i=0;i<=maxx;i++){sum[i]=-1e9;}sum[minx]=0;SPFA(minx);cout<<sum[maxx]<<endl;
}

拓扑序列-kahn

题目-猫猫向前冲

众所周知， TT 是一位重度爱猫人士，他有一只神奇的魔法猫。
有一天，TT 在 B 站上观看猫猫的比赛。一共有 N 只猫猫，编号依次为1，2，3，…，N进行比赛。比赛结束后，Up 主会为所有的猫猫从前到后依次排名并发放爱吃的小鱼干。不幸的是，此时 TT 的电子设备遭到了宇宙射线的降智打击，一下子都连不上网了，自然也看不到最后的颁奖典礼。
不幸中的万幸，TT 的魔法猫将每场比赛的结果都记录了下来，现在他想编程序确定字典序最小的名次序列，请你帮帮他。

输入输出

输入有若干组，每组中的第一行为二个数N（1<=N<=500），M；其中N表示猫猫的个数，M表示接着有M行的输入数据。接下来的M行数据中，每行也有两个整数P1，P2表示即编号为 P1 的猫猫赢了编号为 P2 的猫猫。
给出一个符合要求的排名。输出时猫猫的编号之间有空格，最后一名后面没有空格!
其他说明：符合条件的排名可能不是唯一的，此时要求输出时编号小的队伍在前；输入数据保证是正确的，即输入数据确保一定能有一个符合要求的排名。
输入样例

输出样例

1 2 4 3

解题

拓扑排序
在一个图中，如果有一条边从a指向b，那么我们称a在b前面，或在到达a之前不可能到达b，这类似我们选课时候的先行课程和课程之间的关系。
下面一个例子就能说明拓扑排序。
kahn
kahn算法正是找出拓扑排序的算法。
首先把图中入度为0（即没有先行节点）的节点放入队列，从队列中的点开始找出它下一个能到的节点并放入队列（如果之间没有放入过的话）。
设计
本题中，每个比赛结果如：a胜b，都可以表示为边。
最小字典输出，可以吧kahn中的队列换成优先队列。

代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
/***G++能过，C++没过*/
const int N=505;
int inDeg[N], head[N],n;struct edge {int to,nxt;edge(int a,int b) {to=a;nxt=b;}
};
vector<edge> eg;
vector<int> vec;
void addEdge(int u,int v) {edge e(v,head[u]);eg.push_back(e);head[u]=eg.size()-1;inDeg[v]++;
}void kahn() {int u,v;priority_queue< int,vector<int>,greater<int> > q;for(int i=1; i<=n; i++) {if(!inDeg[i]) {q.push(i);}}while(!q.empty()) {u=q.top();q.pop();vec.push_back(u);for(int i=head[u]; i; i=eg[i].nxt) {v=eg[i].to;if(--inDeg[v]==0) {q.push(v);}}}for(int i=0; i<vec.size()-1; i++) {cout<<vec[i]<<" ";}cout<<vec[vec.size()-1];
}
int main() {int m,a,b;while(cin>>n) {cin>>m;memset(inDeg,0,sizeof(inDeg));memset(head,0,sizeof(head));eg.clear();vec.clear();eg.push_back(edge(0,0));for(int i=0; i<m; i++) {cin>>a>>b;addEdge(a,b);}kahn();cout<<endl;}
}

强连通图SCC-kosaraju

题目-班长竞选

大学班级选班长，N 个同学均可以发表意见若意见为 A B 则表示 A 认为 B 合适，意见具有传递性，即 A 认为 B 合适，B 认为 C 合适，则 A 也认为 C 合适勤劳的 TT 收集了M条意见，想要知道最高票数，并给出一份候选人名单，即所有得票最多的同学，你能帮帮他吗？

输入输出

本题有多组数据。第一行 T 表示数据组数。每组数据开始有两个整数 N 和 M (2 <= n <= 5000, 0 <m <= 30000)，接下来有 M 行包含两个整数 A 和 B(A != B) 表示 A 认为 B 合适。
对于每组数据，第一行输出 “Case x: ”，x 表示数据的编号，从1开始，紧跟着是最高的票数。接下来一行输出得票最多的同学的编号，用空格隔开，不忽略行末空格！
样例输入

样例输出

Case 1: 2
0 1
Case 2: 2
0 1 2

解题

强连通图
有向图G中，每个点都能相互到达成为强连通分量。
强连通分量SCC：强连通子图。
例子说明。
DFS序列
在dfs中有前序序列，后序序列等等。
现在我们要说逆后序序列，即颠倒后序序列就是逆后序序列。其它不再多说
kosaraju
kosaraju算法能找出SCC，且能为缩点做准备
先贴一张图

图中a是原图，b是反图即所有方向颠倒
首先在原图dfs1找出逆后序序列。
在逆后序序列中，最后一个一定是其他点能到达的，而第一个点一定能达到其它点。
在a图中，无论是从abeSCC开始还是cdSCC开始，最后结束的一定是abeSCC中的点，因为abeSCC可以到其他点，其他点不能到abeSCC的点。
找到逆后序序列后，按照序列dfs2，这次用反图b
可以看到，abeSCC在序列最前面，而在反图中它是唯一一个不会达到其它点的SCC。
那么用dfs2能到达的点都是abeSCC的成员，找到之后，排除abeSCC后，下一个不会到其它点的是cdSCC，依次找出所有SCC。
缩点
图c就是缩点之后的图，SCC中的点作为一个点，构成新的图。
缩点过程可以在dfs2中完成，找到的所有点都归为一个SCC点，并且给一个不重复的编号。
如果dfs2中知道了已经做过SCC标记的点比如dcSCC找到了abeSCC（abeSCC在dcSCC标记前一定标记过，刚刚说了标记过就抛弃所以dcSCC不会把abeSCC的点加入到自己队伍里），找就表示连个SCC之间有单向一条路径，加入到新构建的SCC图中。
设计
本题中，每个投票都有传递性。
在SCC中所有点都支持其它任何一个点（不支持自己），那么每个点的支持数都是SCC成员数-1。
而在缩点后的SCC图c图中，如果一个SCC（如abe）能到达另一个SCC（如dc），说明前者支持后者。这时候就用到了dfs3。
支持数最高的一定在出度为零的SCC中。
缩点图也可以根据反图构造。

代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;const int N = 5005;
vector<int> G[N], RG[N], SG[N], S, GG[N];
int ps[N], pscnt, k, n, scc[N], outDeg[N], maxs, sum;
bool vis[N];void addEdge(int a, int b) {G[a].push_back(b);RG[b].push_back(a);
}
void dfs1(int s) {vis[s] = 1;for (unsigned int i = 0; i < G[s].size(); i++) {int x = G[s][i];if (!vis[x]) {dfs1(x);}}ps[pscnt++] = s;
}
void dfs2(int s) {vis[s] = 1;scc[s] = k;GG[k].push_back(s);if (SG[k].empty()) {SG[k].push_back(1);}else {SG[k][0]++;}for (unsigned int i = 0; i < RG[s].size(); i++) {int x = RG[s][i];if (!vis[x]) {dfs2(x);}else {if (scc[x] != k) {SG[k].push_back(scc[x]);outDeg[scc[x]]++;}}}
}
void Kosaraju() {memset(vis, 0, sizeof(vis));memset(outDeg, 0, sizeof(outDeg));k = -1, pscnt = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {if (!vis[i]) {dfs1(i);}}memset(vis, 0, sizeof(vis));for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {if (!vis[ps[i]]) {k++;dfs2(ps[i]);}}
}
void dfs3(int s) {vis[s] = 1;sum += SG[s][0];for (unsigned int i = 1; i < SG[s].size(); i++) {if (!vis[SG[s][i]]) {dfs3(SG[s][i]);}}
}
void fun(int tt) {maxs = 0;for (int i = 0; i <= k; i++) {if (outDeg[i] == 0) {memset(vis, 0, sizeof(vis));sum = -1;dfs3(i);if (sum > maxs) {maxs = sum;S.clear();S.push_back(i);}elseif (sum == maxs) {S.push_back(i);}}}int p = 0;for (unsigned int i = 0; i < S.size(); i++) {for (unsigned int j = 0; j < GG[S[i]].size(); j++) {ps[p++] = GG[S[i]][j];}}sort(ps, ps + p);cout << "Case " << tt << ": " << maxs << endl;for (int i = 0; i < p - 1; i++) {cout << ps[i] << " ";}if(p>0)cout << ps[p - 1] << endl;
}
int main() {int t, m, a, b, tt = 1;cin >> t;while (tt <= t) {cin >> n >> m;for (int i = 0; i < n; i++) {G[i].clear(), RG[i].clear(), SG[i].clear();GG[i].clear();}S.clear();for (int i = 0; i < m; i++) {cin >> a >> b;addEdge(a, b);}Kosaraju();fun(tt);tt++;}
}

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