拓扑排序【Kahn算法(bfs)和dfs求拓扑序列及判环】

拓扑排序

对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，该排序满足这样的条件——对于图中的任意两个结点u和v，若存在一条有向边从u指向v，则在拓扑排序中u一定出现在v前面。

当且仅当一个有向图为有向无环图（DAG）时才存在对应于该图的拓扑排序。每一个有向无环图都至少存在一种拓扑排序。

拓扑排序的实现：

①Kahn算法【常可用来判断该图是否是DAG（有向无环图）】

算法复杂度为O(v+e)。

算法实现：循环执行以下两步直到不存在入度为0的顶点为止。

（1）选择一个入度为0的顶点并输出之；（2）从网中删除此顶点及其所有出边。

循环结束后，若输出的顶点数小于网中的顶点数，则该图存在回路，否则输出的顶点序列就是拓扑序列，该图也即为DAG图。

该算法可借助队列实现。类似于bfs：首先将入度为0的顶点入队，取出队头元素进行拓展，找其邻接点，每个邻接点的入度-1，当入度变为0时则入队。循环此操作直到队列为空。出队顶点序列即为拓扑序列。

int k=0;
void toposort()
{queue<int>q;for(int i=1;i<=n;i++)if(!indegree[i])q.push(i);while(!q.empty()){int u=q.front();q.pop();cout<<u<<' ';k++;//输出拓扑序列,计数+1for (u的每个邻接点v){ //vector或链式前向星建图，遍历方式不一样indegree[v]--;//删除边(u, v)，即让v的入度-1；if (!indegree(v) )q.push(v);}}
}
if (k!=n)存在环；
else不存在环，为DAG图;

②基于DFS的拓扑排序算法（复杂度O(V+E) )

1)DFS求给定DAG图的拓扑序列【前提：已知图是DAG】

topo数组存求得的拓扑序列
int k=0;
void DFS(int x)
{vis[x]=1;for(遍历x的邻接点j){if(!vis[j])DFS(j);}topo[k++]=x;//用栈存
}
void toposort()
{for(int i=1;i<=n;i++){ //遍历每个顶点if(!vis[i])DFS(i);}for(int j=k-1;j>=0;j--)cout<<topo[i]<<' ';//逆序输出数组，所得序列即为拓扑序列
}

2）DFS判断有向图是否有环（是否存在合法的拓扑序列）：

对一个节点x进行dfs，判断是否能从x回到自己这个节点，即是否存在x到x的回路。

这里需用一个color数组标记节点的状态：-1代表未访问，0代表正在被访问，1代表已被访问过

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,e;//n个顶点（1<=n<=100），e条边
int color[105];//color数组表示每个结点的状态
vector<int>G[105];//vector邻接表建图
bool flag;//为真则存在环
void DFS(int x)
{if(flag)//如果有环就返回，否者继续搜索return;color[x]=0;//x正在被访问，状态为0for(int i=0;i<G[x].size();i++){if(color[G[x][i]]==-1)//与x相连的结点状态为-1，则该节点未被访问，继续搜索dfs(G[x][i]);else if(color[G[x][i]]==0){//与x相连的结点状态也为0，代表有环，返回flag=true;return;}}color[x]=1;//标记x状态为已被访问过了
}
int main()
{int u,v;while(~scanf("%d%d",&n,&e)){flag=false;for(int i=1;i<=n;i++)//二维vector初始化for(int j=0;j<G[i].size();j++)G[i].pop_back();memset(color,-1,sizeof(color));//初始化为未访问for(int i=1;i<=e;i++){scanf("%d%d",&u,&v);G[u].push_back(v);}DFS(1);if(!flag)printf("有向图无环，存在合法的拓扑序列\n");else printf("有向图有环，不存在合法的拓扑序列\n");}return 0;
}

UVA10305 给任务排序 Ordering Tasks

题意：

John有n个任务要做，每个任务在做之前要先做特定的一些任务。

输入第一行包含两个整数n和m，其中1<=n<=100。 n表示任务数，而m表示有m条任务之间的关系。接下来有m行，每行包含两个整数i和j，表示任务i要在j之前做。

当读入两个0（i=0，j=0）时，输入结束。

输出包含q行，每行输出一条可行的安排方案。

题解：

裸拓扑排序

Code：

Kahn算法+vector邻接表

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
int n,m,indegree[105];
void toposort(vector<vector<int> >G)
{int space=0;queue<int>q;for(int i=1;i<=n;i++)if(!indegree[i])q.push(i);while(!q.empty()){int x=q.front();q.pop();space?printf(" "):printf(""),space=1;printf("%d",x);for(int j=0;j<G[x].size();j++){indegree[G[x][j]]--;if(!indegree[G[x][j]])q.push(G[x][j]);}}
}
int main()
{int u,v;while(~scanf("%d%d",&n,&m)&&n){vector<vector<int> >G(n+5);//开n+5行的vector二维数组indegree[105]={};while(m--){scanf("%d%d",&u,&v);G[u].push_back(v);indegree[v]++;}toposort(G);puts("");}return 0;
}

基于DFS的拓扑排序+链式前向星建图

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<queue>
using namespace std;
struct node{int to,next;
}G[105];
int head[105],cnt;
void add(int u,int v)
{G[cnt].to=v;G[cnt].next=head[u];head[u]=cnt++;
}
int n,e,indegree[105],ans[105],k,vis[105];
void DFS(int rec)
{vis[rec]=1;for(int j=head[rec];~j;j=G[j].next){if(!vis[G[j].to])DFS(G[j].to);}ans[k++]=rec;
}
void toposort()
{for(int i=1;i<=n;i++){if(!vis[i])DFS(i);}int q=1;for(;k>0;){q?cout<<"":cout<<" ";q=0;cout<<ans[--k];}
}
int main()
{int u,v;while(~scanf("%d%d",&n,&e)&&n){cnt=0;memset(vis,0,sizeof(vis));memset(head,-1,sizeof(head));for(int i=1;i<=e;i++){scanf("%d%d",&u,&v);add(u,v);}toposort();puts("");}return 0;
}

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