短圆弧(一般为30º以下圆心角所对应的圆弧)的测量在实际测量中有许多应用，如测量样板、异形零件等。常用的非完整圆弧半径测量方法包括圆弧样板法、卡尺法和弓高弦长法等，这些方法的精度、量程、特点和应用场合不同。圆弧样板法仅用于检验圆弧半径是否在公差带范围内；卡尺法适用于精度不高的场合，测量范围受弧长的限制，卡尺量程受横向定位架的限制；而弓高弦长法的操作比较繁琐。上述方法一般只用于对工件做静态的离线测量。短圆弧测量的难点在于圆弧上的特征点数少，受到的噪声大。下面介绍用三坐标(CMM)对大半径短圆弧的测量方法。

CMM测量大半径短圆弧的误差分析

从测量原理上讲，CMM直接测得的是被测工件上一些特征点的坐标位置，为了获得被测参数值，需要通过测量软件的数据处理和运算。因此，被测参数的测量精度主要与CMM的系统误差、测头系统误差、工件形状误差、算法误差、环境误差、采样策略和敏感系数等因素有关。而对于大半径短圆弧测量，采样策略和敏感系数对精度的影响更大。

1、采样策略对CMM测量的影响

采样策略是指如何在被测物体表面合理安排采样点，采集多少点最为合理，且使检测误差达到最小。所谓合理是指在同一台测量机上，在相同的环境下，测量同一个零件，怎样安排测量点的位置和测量点数，可以获得较高的测量准确度，且耗费的时间比较经济。采样数量和采样位置会影响测量结果的原因在于：

1)被测元素并非理想元素，存在形状误差；

2)CMM采点及计算方法有局限性，存在测量误差。

以圆为例说明采样策略对测量结果的影响：图1实际圆形具有三叶形误差，当测量点在a、b、c三点时，测得的直径为最小；当测量点选择在A、B、C三点时，测得的直径最大，由于工件任意摆放，测得的可能是他们之间的任意值。这是被测元素形状误差对测量结果的影响。

图2为采样点对圆参数测量结果的影响，如果采样点选在A、B、C三点，测得的圆直径如图中圆3所示，如果选在A'、B'、C'三点，则测得的直径很大，如圆1所示；若在A'、C'两点的测量误差向外，而B'点的误差向内，测得的圆直径更大，如圆4所示。

由图1和图2可以看出，采样策略对测量结果影响较大，因此如对测量结果有异议，可考虑改变采样策略多测几次，然后分析结果，给出正确的测量数据。

2. 敏感系数对CMM测量的影响

测量机测空间点坐标精度很高，但并不等于对具体的对象(例如圆弧)所作的结论精度很高，这是因为从点坐标到具体对象所需的结论参数有一个计算的过程(所以测量机是一个测量加计算的设备)，很多问题是数学产生的，测量机的数学方法一般基于空间解析几何的运算。

例如用三点来测圆弧，是用每两点连线的中垂线相交来求圆弧半径及中心点位置，当这三点所夹中心角越小时，各点的精度对两点中垂线相交点位置影响就越大，常用“敏感系数”来量化的表示结论和初始参数之间的关系，即用它来评价测量点误差对被测结果的影响。对于一些一般数学方法处理，这种方法应当重复性好，并为生产所接受。

敏感系数表示测量结果受初始测量要素影响的大小。以下是对于大半径短圆弧测量中敏感系数的分析。

三点测圆时两点夹角对中心位置及半径测量的影响一大半径短圆弧测量的理论解释：若三点测圆时，三点相对于Y轴对称分布，两点间中心角为θ，那么半径对测点的径向敏感系数σ1，(如图3所示)由下述公式决定，

圆心X坐标对测点径向位置的敏感系数 σ2(如图4所示)为

圆心Y坐标对测点径向位置的敏感系数 σ3(如图5所示)为

面对同一个检测对象，根据不同的检测方案，不同的中心夹角，可以测出不同的结果，而且可能有不同的精度，例如三点测圆测量方案1(图1)比测量方案2(图2)的误差要小得多，所以前面引入了一个敏感系数的概念。在图2中假设圆是理想圆，但测量机不是理想机，即所测点坐标位置有变化，假设每一点径向的精度为1um，当弧的中心角为120º时，半径的偏差为0.5um，而弧的中心角为10º时，半径偏差达到80um。

图3~图5中可以看到当中心角小于30°时，半径及弧中心位置对取点的径向误差的敏感系数均急剧变大，相应的标准偏差亦大大加大。

经分析，短圆弧(圆心角小于30度以下)之所以成为难题，就是无论你用什么测量仪器，用什么测量方法，都必须在测量的短圆弧上取点。由于各种因素，也就必然会产生取点误差。例如被测的短圆弧R值的敏感系数σ1，按图3和圆心坐标Y的敏感系数σ3，按图5所示为100左右。在一般的仪器上正常的采点误差，假设为0.003mm，然后还用通常的计算方法，那么最后反映到R值和圆心坐标Y上，误差就会扩大100倍而成了0.003 x 100=0.3mm。这无论是通过计算分析，还是实践经验都能证明的事实，并已在精密测量界得到了确认。那么这扩大了100倍后的误差结果显然是无法接受的。所以短圆弧是无法用通常测量圆的方法来进行。

减小CMM测量大半径短圆弧误差的方法

1)密集采点

利用已知点的坐标值，通过最小二乘的数学方法，回归求出圆弧半径及圆心，为了提高精度要密集采点甚至扫描采点的方法，但在中心夹角小时，误差仍较大。如果是测量整圆的话，测量的点数奇、偶都没有太大的影响。但是如果是测量圆弧段的话，测量的点数要尽量选择奇数，因为只有奇数才能够采到圆孤的最高点，而且在短圆弧上点数应该尽可能的多点，采的点数越多软件越能通过最小二乘法原理反映圆弧本身。

2)分段密集采样的圆心的最小二乘法

分别在短圆弧三点附近密集采点，此三点应尽可能远离，每一点附近的点的数据作为一组，共三组数据，每组有n个数据；每组取一点，共三点，计算一个圆心及半径，互相组合后有N=n3个圆心，把N个圆心用最小二乘数学方法回归，得一点，作为实际圆心，把各点到此圆心的距离的平均值作为半径，最大、最小距离作为实际公差。

3)圆的最小二乘法+最小条件逼近法

用最小二乘法求出初始圆心，根据精度确定收敛值；预置叠代步长，找出最大距离及最小距离点，按“靠近最大距离点，远离最小距离点”的原则进行逼近，直到满足收敛值，这时确定了圆心，随之确定了半径。

4)圆心固定法

短圆弧的圆心坐标与R值，在图纸上标有名义值和公差值。从数学角度讲，零件上的短圆弧由设计确定，这圆心坐标与R值是一对完全相关量，只要确定了圆心坐标值，就能相应确定R值。无论从设计者讲或对短圆弧的使用功能特性讲，还是从加工短圆弧的工艺角度讲也都是以圆心坐标为基准值来计算圆弧。

基于上述思想，先按图纸建立被测工件的零件坐标系，圆心可以通过其他的元素测量和计算得到，误差只是产生在短圆弧半径R值的计算上。用三坐标测头在短圆弧上采点，每采一点就计算出该点到该圆心的距离，输入圆弧R名义值及其公差来判断是否合格。

用同样的方法在短圆弧的起点、终点和中间点，分别测出其半径值都在公差范围内为合格，只要有超差，就判不合格。

结语：

关于大半径短圆弧的测量，必须依据实际零件的要求，结合企业的自身条件，找寻切实可行的测量方法来指导生产实践。相信随着测量技术的不断提升，会出现更多经济可行的测量方法。