DFT与DTFT区别

DFT是有限长信号的傅立叶表示，DTFT是无限长信号的傅立叶表示。

DFT的定义为：

$X\left[k\right]=\sum_{n=0}^{N-1}{x\left[n\right]e^{-j{\frac{2\pi}{N}}kn}} ,0\le k \le N-1$

无论 $N$ 如何变化，DFT的谐波频率始终在区间 $\left[0,2\pi\right]$ 之内：

$0\le \omega_k=\frac{2\pi}{N}k < 2\pi$

当 $N\to\infty$ ，DFT对于区间 $\left[0,2\pi\right]$ 的划分越来越细致， $\omega_k$ 从离散的值最终变成整个实数区间。（相当于往区间 $\left[0,2\pi\right]$ 中不断插值），或者说DFT是DTFT在 $\omega =\frac{2\pi}{N}k$ 处的采样。

DTFT的定义为：

$X\left(\omega \right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{x\left[n\right]e^{-j\omega n}} ,0\le \omega < 2\pi$

DTFT是 $N\to\infty$ 时DFT的极限。
DTFT的概念性更强，主要用于理论分析，可以统一于 $Z$ 变换。
DFT可以应用于实践，对于计算机来说比较友好。

作者：psyduck
链接：https://www.zhihu.com/question/23137926/answer/25327783
来源：知乎
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