解析函数展开成幂级数的方法分析

解析函数展开成幂级数的方法分析

姓 名：学 号：20专 业：物理指导教师：

解析函数展开成幂级数的方法分析

摘要关键词

一 前 言解析函数边值问题和广义解析函数边值问题在奇异积分方程方面有广泛的应用，它们在弹性力学、流体力学方面也有重要的应用。这些方面的理论及其应用，主要是由苏联学者建立和发展起来的。自20世纪60年代以来，中国的数学工作者在这些方面也做了不少工作。关于解析函数的不同定义在世纪初被证明是等价的。基于魏尔斯特拉斯的定义，区域上的解析函数可以看作是其内任一小圆邻域上幂级数的解析开拓 ，关于解析开拓的一般定义是，f(z)与g(z)分别是D与D*上的解析函数，若DÉD* ，且在D*上f(z)=g(z)。则称f(z)是g(z)由D*到D的解析开拓 。解析开拓的概念可以推广到这样的情形 ：f(z)与g(z)分别是两个圆盘D1与D2上的幂级数，在D1∩D2上f(z)=g(z)则也称f与g互为解析开拓，把可以互为解析开拓的( f(z)，Δ)的解析圆盘Δ全连起来，作成一个链。它们的并记作Ω，得到了Ω上的一个解析函数，称它为魏尔斯特拉斯的完全解析函数，这里可能出现这样的情形，在连成一个链的圆盘中，有一些圆盘重叠在一起，但在这些重叠圆盘的每一个上的解析函数都是不一样的，它们的每一个都称为完全解析函数的分支。这样的完全解析函数实际是一个多值函数。黎曼提出将多值解析函数中的那些重叠的圆盘看作是不同的“叶”，不使他们在求并的过程中只留下一个代表，于是形成了一种称为黎曼面的几何模型。将多值函数看作是定义于其黎曼曲面上的解析函数，这样多值解析函数变成了单值解析函数。基本性质解析函数的导函数仍然是解析函数单连通域内解析函数的环路积分为0复连通域内，解析函数的广义环路积分(即包括内外边界，内边界取顺时针为正)为0。由于解析函数概念可推广为广义解析函数(基于把解析函数的实部、虚部所满足的柯西－黎曼方程组推广为较一般的一阶偏微分方程组)，因此解析函数边值问题也可推广为广义解析函数边值问题，这是把函数论与偏微分方程结合起来的一个方向组合数学中，幂级数也占有一席之地。作为母函数，由幂级数概念发展出来的形式幂级数是许多组合恒等式的来源。在电力工程学中，幂级数则被称为Z-变换。实数的小数记法也可以被看做幂级数的一种。

解析函数的相关问题与幂级数的相关问题已被研究很久，上述就是研究成果的很小很小的一部分，但在这里我们只讨论解析函数展开成幂级数的方法与分析。

二 幂级数的解析性

定理：幂级数的和函数，f(z)是收敛圆内的一个解析函数，且其各阶导数为：，其中，p为自然数，

。

三 解析函数的泰勒展开

通过对幂级数的学习，我们已经知道一个幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解析函数。现在我们来研究与此相反的问题，就是：任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？这个问题不但有理论意义，而且很有实用价值。

泰勒(Taylor)展开定理设区域D：内解析，则在D内可展为泰勒级数，其中，。且展式是唯一的当时，级数称为麦克劳林级数定理本身提供了一种展开方法，即求出代入即可，这种方法称为直接展开法比较麻烦。根据泰勒展式的唯一性，因此通常用间接展开法，即利用基本展开公式及幂级数的代数运算、代换、逐项求导或逐项积分等将函数展开成幂级数，基本展开公式如下：

例：将函数，在内展开成幂级数。

解：

还有在直接利用基本展开公式时，还可以利用替换法求得，例如：将函数，以z=-1为中心展开为幂级数。

解：令，即，利用得到，，所以。

四 零点的孤立性及唯一性定理

定义：如果f(z)在a点及其邻域内解析，f(a)=0，则称z=a为f(z)的零点。设f(z)在z=a点及其邻域内解析，则当｜z-a︱充分小时，f(z)= ,故若z=a为零点，则必有,。此时，称z=a点为f(z)的m阶零点，相应地,

,其中在a的邻域内解析且不等于零。

解析函数零点的一个重要性质是它的孤立性。

解析函数的零点孤立性定理：若f(z)不恒等于零，且在内解析，z=a为零点，则必能找到z=a的一个邻域，使f(z)在此邻域内无其他零点。[3]

五 解析函数的洛朗展开

一个函数除了可在解析点作泰勒展开外，有时还需要将它在奇点附近展开成幂级数，这时就得用洛朗展开。

洛朗定理：设f(z)在以b为圆心的环形区域上单值解析，则对于环域内的任何z点，f(z)可以用幂级数展开为，，其中，，C是环域内绕内圆一周的任意一条闭合曲线。

洛朗的展开条件也可以放宽为f(z)在区域内单值解析。[4]

六 解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展开

奇点：f(z)在不解析，但在的任一邻域内总有f(z)的解析点，则称为f(z)的奇点。

孤立奇点：如果f(z)在