Hilbert变换器

希尔伯特变换简单理解：对实数信号进行数学变换得到一个新的实数信号

变换目标：输出信号是输入信号90°相移后的版本

在时域实现信号90°相移，根据傅里叶变换时移特性可以得到频域响应，希尔伯特变换在频域定义如下：

希尔伯特变换器的作用：
将输入信号经过希尔伯特变换器后得到输出信号，输入信号作为实部，输出信号作为虚部合成解析信号，对解析信号做Fourier变换，可以消除负频率部分，使用python仿真如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.fftpack import fftn = np.arange(-6.28,6.29,0.1)
income_signal_sin = np.sin(2*np.pi*n)
Hilbert_signal = np.sin(2*np.pi*n + np.pi/2)analytic_signal = income_signal_sin +1j * Hilbert_signalanalytic_signal_FFT = fft(analytic_signal)
income_signal_FFT = fft(income_signal_sin)plt.subplot(211)
plt.plot(n,abs(income_signal_FFT)*2/len(n))
plt.xlabel('output bins')
plt.ylabel('abs(signal)')
plt.title('income signal FFT')
plt.grid(which='both', axis='both')
plt.subplot(212)
plt.plot(n,abs(analytic_signal_FFT)*2/len(n))
plt.xlabel('output bins')
plt.ylabel('abs(signal)')
plt.title('analytic signal FFT')
plt.grid(which='both', axis='both')
plt.tight_layout()
plt.show()

对上式做Fourier逆变换，可以得到时域的系统函数：

  h(t) = [1 - cos(πt/T)]  (T为采样周期)

因为在计算机中只能有离散形式，所以上式在仿真中不具备可实现性，现在，令t = n*T,(T为采样周期；n为整数)，可以得到希尔伯特变换在时域的离散形式：

h(n) = 2*sin(πn/2)*sin(πn/2)/πn  （T归一化处理）

由于在硬件上实现，只能有限个样值，采用窗函数截断，由于吉布斯效应，可以看到在频域出现抖动。`

使用python仿真如下：

def Hilbert(fs = 1, N = 60):t = np.arange(-N/2, N/2 + 1, 0.01)ht = (1 - np.cos(fs * np.pi * t)) / (np.pi * t)n = np.arange(-N/2, N/2 + 1,1)h = (fs *(1 - np.cos(np.pi*n)))/(np.pi * n)h[30] = 0Xk = fft(h,128)plt.subplot(311)plt.scatter(n/fs,h)plt.plot(t,ht)plt.grid(which='both', axis='both')plt.xlabel('n')plt.title('Hilbert')plt.subplot(312)plt.plot(np.arange(0,len(Xk),1),abs(Xk))plt.xlabel('output bins')plt.ylabel('abs(Xk)')plt.grid(which='both', axis='both')plt.subplot(313)plt.plot(np.arange(0,len(Xk),1),np.unwrap(np.angle(Xk)))plt.xlabel('output bins')plt.ylabel('angle')plt.grid(which='both', axis='both')plt.tight_layout()return 0def main():Hilbert()plt.show()if __name__ == '__main__':main()

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