内点、外点、边界点（yee些概念）

内点、外点、边界点

固定一个集合SSS和一个全集EEE
考虑一个点 xxx
[denote: Uδ(x)=(x−δ,x+δ)U_{\delta}(x)=(x-\delta,x+\delta)Uδ(x)=(x−δ,x+δ)]
xxx是内点：x∈S,∃δ>0,Uδ(x)⊆Sx\in S,\exists \delta>0, U_{\delta}(x) \subseteq Sx∈S,∃δ>0,Uδ(x)⊆S，内点集合称为SSS的内部，记为SoS^{o}So或int(S)int(S)int(S)
xxx是外点：x∉S,∃δ>0,Uδ(x)⊆Sˉx\notin S,\exists \delta>0, U_{\delta}(x) \subseteq \bar{S}x∈/S,∃δ>0,Uδ(x)⊆Sˉ，外点集合称为SSS的外部，记为ext(S)ext(S)ext(S)
xxx是边界点：∀δ>0,∃y∃z,s.t.y∈Uδ(x),z∉Uδ(x)\forall \delta>0, \exists y\exists z, s.t.y \in U_{\delta}(x), z \notin U_{\delta}(x)∀δ>0,∃y∃z,s.t.y∈Uδ(x),z∈/Uδ(x)，边界点集合称为SSS的边界，记为∂S\partial S∂S
xxx是聚点：∀δ>0,∃无穷多个y∈Uδ(x),y∈S\forall \delta>0, \exists无穷多个y\in U_{\delta}(x), y \in S∀δ>0,∃无穷多个y∈Uδ(x),y∈S，SSS的聚点全体称为导集，记为S′S'S′
xxx是孤立点：x∈S,∃δ>0,Uδ(x)∩S=x \in S,\exists \delta>0, U_{\delta}(x)\cap S=x∈S,∃δ>0,Uδ(x)∩S={xxx}

包含关系：
内点一定是聚点
聚点可能是内点可能是边界点
孤立点一定是边界点
边界点可能是孤立点可能是聚点

延伸：
集合SSS中每一个点都是其内点，则将其称为开集
集合SSS包含其所有聚点，则将其称为闭集
S′∪SS'\cup SS′∪S称为SSS的闭包，记为Sˉ\bar{S}Sˉ

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