微积分同济大学第三版下

第五章向量代数与空间解析几何

第一节向量及其线性运算

向量概念

1.向量的夹角表示
2.0向量与任何向量平行，也与任何向量垂直。零向量的方向不确定，但模的大小确定。
3.向量共面：k个向量的终点和公共起点在一个平面上。

向量的加法与数乘运算

1.加法：平行四边形法则、三角形法则、交换律、结合律
2.数乘运算律：结合律和分配律
3.定理：两向量平行的充要条件是存在唯一的实数x，使a=x*b。
4.推论：数轴上的点的坐标✖轴上的单位向量=该有向线段

第二节点的坐标与向量的坐标

空间直角坐标系

1.右手法则：以右手握住z轴，四指沿x轴正向旋转90°指向y轴正方向，竖起的大母指的方向就是z轴的正向。
2.卦限：俯视角度的逆时针。
3.空间两点间的距离公式

向量的坐标及向量线性运算的坐标表示

1.标准分解式
2.向径：一般指位置矢量，指在某一时刻，以坐标原点为起点，以运动质点所在位置为终点的有向线段。
3.两向量相等的充要条件是其坐标对应相等。
4.有向线段的x等分点

向量的模、方向角和投影

1.模
2.方向角
3.方向余弦

方向角或方向余弦完全确定了向量的方向。

4.投影

第三节向量的乘法运算

向量的数量积（点积、内积）

1.数量积是数。
2.运算律：交换律、分配律、数乘结合律
3.两向量的夹角

向量的向量积（叉积、外积）

1.向量积是向量。
2.模长为平行四边形的面积。
3.运算律：反交换律、a和a的向量积为0
4.两向量平行的充要条件：向量积为0
5.计算

向量的混合积

1.混合积是数。
2.a、b、c向量共面的充要条件：混合积为0
3、有关行列式的性质
4.计算
5.混合积的绝对值=平行六面体的体积

第四节平面

平面的方程（用什么样的方程表示平面）

1.点法式
2.三点式（三点确定一个平面）

原理是三点共面混合积为0

3.一般式：Ax+By+Cz+D=0
D=0,过原点
C=0,平行于z轴
B=C=0,垂直于x轴
A=D=0,通过x轴（因为经过原点且平行于x轴）
4.截距式

两平面的夹角以及点到平面的距离

1.两平面的夹角
2.点到平面的距离

第五节直线

直线的方程

1.参数方程
2.对称式方程（点向式方程）
3.两点式
4.一般式

两直线的夹角、直线与平面的夹角

1.两直线的夹角
2.直线与平面的夹角
3.直线与平面垂直的充要条件
4.直线与平面平行的充要条件

过直线的平面束

1.一族平面相交于同一条直线
2.求投影直线的一般方程（找过该直线的与要被投影的平面垂直的平面与该投影平面的交线）：
思路：先将平面束方程用p表示成一般形式，再想办法确定常数p。
找p，使其对应的平面与所给平面垂直，即令两平面的法向量正交。
解出p，将p代入平面束方程。
求得一般方程。

第六节曲面与直线

柱面与旋转曲面

1.柱面
2.旋转曲面

旋转抛物面
旋转椭球面
旋转双曲面
- 单叶旋转双曲面
- 双叶旋转双曲面
圆锥面

空间曲线的方程

1.一般方程
2.参数方程

空间曲线在坐标面上的投影

1.投影柱面
2.投影曲线
3.求解方法：
例：求在xOy面上的投影，消去z后的方程和z=0的联立，是二者一起表示成的一般式。

第七节二次曲面

方法：截痕法

二次曲面的方程与图形

1.椭球面
2.抛物面

椭圆抛物面
双曲抛物面（鞍形面）

3.双曲面

单叶双曲面：有一个截痕是椭圆
双叶双曲面：有一个截痕是无截痕、一点或椭圆

4.椭圆锥面

曲面的参数方程及其计算机作图法

第六章多元函数微分学

第一节多元函数的基本概念

多元函数

1.基本概念

R^n中的线性运算、距离及重要子集

1.邻域
2.内点、边界点和聚点
3.开集与闭集
4.有界集与无界集
5.区域、闭区域

多元函数的极限

多元函数的连续性

性质：

有界闭区域D上的多元连续函数是D上的有界函数。
有界闭区域D上的多元连续函数在D上存在最大值和最小值。
有界闭区域D上的多元连续函数必能取得介于最大值和最小值之间的任何值。

第二节偏导数

偏导数

1.偏导数的表示方法
2.可偏导：同时存在对x和对y的偏导数

3.几何意义：斜率
4.如果一个多元函数在某一点可偏导，并不能保证它在该点连续。连续也不能推出可偏导。

高阶偏导数

1.纯偏导
2.混合偏导
3.定理：二阶混合偏导连续，则混合偏导的顺序不同也相等
4.波动方程
5.拉普拉斯方程

第三节全微分

1.偏增量
2.全增量
3.可微
4.全微分
5.可微函数
6.定理：

可微的必要条件：
- 由可微可以推出连续、可偏导。
可微的充分条件：
- 连续偏导数推出可微。
  7.全微分的表示形式

第四节复合函数的求导法则

1.复合函数的中间变量均为一元函数的情形
2.复合函数的中间变量均为多元函数的情形
3.抽象复合函数的求导法则

第五节隐函数的求导公式

一个方程的情形

1.二元函数
2.三元函数

方程组的情形

1.三元函数
2.四元函数
【都是用行列式求】

第六节方向导数与梯度

方向导数

1.定义
2.几何意义

梯度

1.定义
2.梯度的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向，它的模=该点处的方向导数的最大值。
3.有势场与梯度场

第七节多元函数微分学的几何应用

空间曲线的切线与法平面

1.切线的方向向量
2.切线方程
3.法平面

曲面的切平面与法线

1.切平面（过点M并以n向量为法向量的平面）
2.切平面的法向量
3.参数方程

等量面与等高线

第八节多元函数的极值

极大值与极小值

求极值的步骤：
1. 找驻点
2. 对于每个驻点求出对应的A、B、C
3. 确定AC-B^2的符号，在判定是否为极值

条件极值

1.目标函数
2.约束条件
3.拉格朗日乘子法

多元函数最值

没必要判断是否为极值点，直接比较即可。

无条件极值（闭区域的边界内）
边界上条件极值

第七章重积分

第一节重积分的概念与性质

重积分的概念

1.曲顶柱体的体积

划分、近似、求和、逼近

2.平面薄片的质量
3.二重积分的定义

被积函数、被积表达式、面积元素、积分变量、积分区域、积分和（黎曼和）

当被积函数恒等于1时，二重积分表示积分区域的面积。

三重积分的定义
三重积分没有几何意义，只有物理意义。

如果三元函数在闭区域上连续，那么它在该闭区域上的三重积分必定存在。

重积分的性质

1.线性性质
2.区域可加性
3.单调性
4.可积性
5.最大值和最小值
6.中值定理

第二节二重积分的计算

利用直角坐标计算二重积分

1.对x型区域：先对y再对x
2.对y型区域：先对x再对y
3.既是x型又是y型
4.既不是x型也不是y型：分割
！！！二重积分的对称性：

若D关于x轴对称
若D关于y轴对称
若D关于（0，0）对称
若D关于直线y=x对称

利用极坐标计算二重积分

1.适用范围：当积分区域D是圆域或其一部分，或被积函数形如f(x^2 +y^2)。

二重积分的换元法

雅可比行列式

第三节三重积分的计算

利用直角坐标计算三重积分

1.坐标面投影法
2.坐标轴投影法（截面法）

利用柱面坐标计算三重积分

利用球面坐标计算三重积分

第四节重积分应用举例

体积

曲面的面积

质心和转动惯量

一、
1.力学中关于静矩和转动惯量的计算公式最初是对质点给出的。例如，设xOy平面上一质点所占的位置为（x,y），且质量为m，则该质点关于x轴的静矩为my，转动惯量为my^2，关于y轴的静矩为mx，转动惯量为mx^2。
2.当单个质点扩充为质点系时，质点系的静矩和转动惯量即为质点系和各质点的静矩和转动惯量的叠加（数量和）。
3.与静矩密切相关的一个力学概念是质心。质心坐标是两个具有可叠加性质的量的商。
4.静矩：平面图形的面积与其形心到某一坐标轴的距离的乘积。
5.转动惯量：刚体绕轴转动时惯性的量度。转动惯量在旋转动力学中的角色相当于线性动力学中的质量，可形式的理解为一个物体对于旋转运动的惯性，用于建立角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。
二、
现在来把上述关于质点系的计算公式推广到平面薄片和空间物体上。

引力

第八章曲线积分与曲面积分

第一节数值函数的曲线积分（第一类曲线积分）

第一类曲线积分的概念

1.柱面的面积
2.曲线形构件的质量
3.数量值函数、曲线积分、被积函数、积分弧、弧长元素
4.当被积函数恒等于1时，曲线积分恒等于积分弧的长度。
5.如果二元函数在光滑曲线L上连续，那么曲线积分存在。
6.性质：线性性质、对于积分弧的可加性质

第一类曲线积分的计算法

第二节数值函数的曲面积分（第一类曲面积分）

第一类曲面积分的概念

1.数量值函数、曲面积分、被积函数、积分曲面、曲面面积元素
2.当被积函数恒等于1时，曲线积分恒等于积分曲面的面积。
3.如果三元函数在光滑曲面上连续，那么曲面积分存在。

第一类曲面积分的计算法

数值函数在几何形体上的积分及其物理应用综述

第三节向量值函数在定向曲线上的积分（第二类曲线积分）

第二类曲线积分的概念

1.定向曲线及其切向量
2.定向光滑曲线上各点处的切向量的方向总是与曲线的走向相一致。
3.变力沿曲线所作的功
4.向量值函数、第二类曲线积分、定向弧元素、定向弧L的投影元素、对坐标的曲线积分、定向积分曲线、积分表达式
5.如果二元函数在定向光滑曲线上连续，则积分存在。

第二类曲线积分的计算法

1.化为定积分计算
2.看作参数方程

第四节格林公式

格林公式

1.单（复）连通区域及其正向边界
2.格林定理

平面定向曲线积分与路径无关的条件

1.与路径无关
2.定理

曲线积分基本定理

保守场

第九章无穷级数