二维傅里叶变换深度研究-图像与其频域关系
一:二维傅里叶变换的数学原理
1.2D离散傅里叶公式解释:
那么,其F(u,v) 本质就是:
后续说明时的”频域”均指的其傅里叶功率谱,后面为了演示方便,所有频域图均经过了fftshift移动到中心位置。
2.2D傅里叶频率图理解:
1).二维cos函数及其F(u,v)
A.图像:cos(0.3x+0.3y),其频域上出现2个极值点,及对应其cos(0.3x+0.3y)函数本身
B.图像:cos(0.3x+0.3y)+ cos(0.3x-0.3y),该图像表现为规则点阵,其傅里叶频域图上则按预期的出现4个极值点
C.图像:cos(0.3x+0.3y)+ cos(0.3x-0.3y)+cos(0.6x+0.4y),同理,会出现6个极值点
2).F(u,v)图意义
F(u,v)图像每一点意义可用如下图清晰解释[1]:
即频谱图像的每一点即表示一个cos函数,点的位置即表示该函数的w1和w2。
以下我们通过使用有限个cos函数图像来进行合成lena图像
其中傅里叶频谱图上点的强度表示了求和时的cos函数的权值,越白表示权值越大。从上图可看到,仅使用低频部分的几十个cos函数已基本合成了lena。
二.2-D FFT主要性质
1.理解2D-FFT的平移不变性:
我们用1维公式进行推导:
所以不管1D,还是2D,平移不影响频域功率图,我们通过以下事例来说明该结论
2.理解2D-FFT的旋转同步性:
1)旋转同步性的数学推导:
可见f(x,y)与旋转 后的f(x’,y’)的频域图形也同步为 的偏差
2)旋转同步性的图示:
我们通过如下水平与逆时针15°的图像作为说明
三.经典基本图像的频谱图
1.高斯图像的傅里叶变化:
1)高斯点频域的数学推导
为便于推导,我们选择1维高斯函数作为数学说明
即高斯点的频域图还是高斯点,只是方差对应成倒数关系,即时域中高斯函数方差越大,对应频域图像的方差越小。
我们可以想一下高斯低通滤波器,当我们想要一个非常低通的滤波器时:
频域:要求截止频率很低,也即要该滤波器的非常接近中心,视觉上则表现为高斯函数方差很大。
时域:需要一个非常低的低通滤波器,我们则要求其核半径非常大,该滤波器视觉上表现为方差非常小。
2)高斯点频域图示
我们通过2个方差不同的高斯点进行说明
3)多个高斯点的频域图
该结论同样适合于任何其他图形的叠加,我们通过不同位移量的高斯点进行说明:
2.box(sinc)图像的傅里叶变化:
1)box函数数学说明
2)box函数频域图像说明
我们通过不同长宽的数据进行说明:
可以看到,长和高分别变化,会引起频域上其对应的sin相应变化
3)Box函数特例:直线函数
直线可看成box函数的特例,即长宽比特别大的:边长越长,对应方向块效应频率越高;边长越短,对应方块效应频率越低。
A.宽变换:
可以看到,随着宽的变短,水平方向的频率不断变少,最终变成频率为0的常数sin
B.长变化:
可以看到,随着长不断边长,垂直方向线段频率逐渐变高,最终达到1pixel的极限
3.圆域图像的傅里叶变化:
1)圆域函数的数学说明
圆域函数的FT推导需要用到贝塞尔公式,比较复杂。但是可以大致这样认为:
我们可以将圆看成有限个直线的求和,由
结合FT的可加性、旋转同步性、直线函数频域图像,可以推测圆域函数的FT应该类似于直线一样是成周期性的衰减圆环状。
和直线同样性质,圆越大,圆环的频率越高,我们通过如下不同半径的圆进行说明
2)圆环函数
四.部分真实图像的傅里叶变化:
1.牛顿环:
FT后,仍然是环状,因为牛顿环可以看成多个圆域函数的线性叠加
2.特斯拉标记:
2.1 频域与图像对应
该图像主要以几条曲线构成,可以很容易发现该频域图像与其时域的对应关系。
2.2 图像边缘对频谱的影响
可以看到上面2.1中的特斯拉图像取反前后,频域的图像几乎没变化,这符合预期,因为关键的边界信息是相同的。但是取反后中间垂直的2条亮线没有了,这个是由于边缘导致。
当背景有颜色时,图像的边缘即构成水平和垂直的阶跃信号,所以我们实际使用的大部分图像,几乎都可以看到其频谱图出现中间2条周期亮线的情况。
2.3 如何消除图像边缘对频谱的影响
图像边缘的阶跃效应会导致频域图中,出现中心两条带旁瓣的亮线,这有时会干扰我们对水平/垂直规律信号的分析。
我们对lena进行FT,如预期的,中心出现亮线。
接下来我们对边缘进行衰减,即可大大降低边缘阶跃效应。可以看到,边缘衰减后,FT图的中心亮线几乎消失。
3.指纹图像:
指纹的纹路是在一个较窄带的范围的纹路信号,其图像可以近似成有限个一定周期、不同方向的cos函数叠加,所以指纹的频谱能量会主要集中在一个环带范围内。下图可以明显看到,其频域图中有一个较亮的环状带。
特别说明:
[1].知乎-阿姆斯特朗
[2].数字图像处理-冈萨雷斯
由于原稿是在word中编辑,文中带有公式的段落是直接贴图,可能导致排布不对齐,见谅。
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