【计算机图形学】画线算法—

相比于Breanham算法，中点画线算法更加直接（非效率）。

中点算法的重要假设是，我们能绘出没有间隔的最细的直线。两对角像素之间的连接是没有间隔的。

一、中点画线算法原理

设线段端点为：(x₁, y₁)，(x₂, y₂)，∆x和∆y为水平和垂直偏移量
{∆y=y2−y1∆x=x2−x1\left\{ \begin{array}{c} ∆y=y_2-y_1 \\ ∆x=x_2-x_1 \end{array} \right. {∆y=y2−y1∆x=x2−x1

直线的隐式方程：f(x,y)≡(y1−y2)x+(x2−x1)y+x1y2−x2y1=0f(x,y)≡(y_1-y_2)x+(x_2-x_1)y+x_1y_2-x_2y_1=0f(x,y)≡(y1−y2)x+(x2−x1)y+x1y2−x2y1=0

那么直线斜率为：k=y1−y2x1−x2k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}k=x1−x2y1−y2

假设已经确定了要显示的点(xk , yk)，那么，需要确定下一个点(xk+1,yk+1)(x_k+1 , y_{k+1})(xk+1,yk+1)是绘制在像素B(xk+1,yk)(x_k+1, y_k)(xk+1,yk)还是A(xk+1,yk+1)(x_k+1, y_k+1)(xk+1,yk+1)上。

设M为AB的中点，Q为线段与AB边的交点。若Q在M的上面，则应取像素点A作为(xk+1,yk+1)(x_k+1 , y_k+1)(xk+1,yk+1) ，否则应取像素点B。

平面任一点(x,y)(x, y)(x,y)与直线的相对位置可由(x,y)(x, y)(x,y)的符号确定：
{f(x,y)<0，(x,y)位于直线下方f(x,y)=0，(x,y)位于直线上f(x,y)>0，(x,y)位于直线上方\left\{ \begin{array}{c} f (x, y) < 0，(x, y)位于直线下方 \\ f (x, y) = 0，(x, y)位于直线上 \\ f (x, y) > 0，(x, y)位于直线上方 \end{array} \right. ⎩⎨⎧f(x,y)<0，(x,y)位于直线下方f(x,y)=0，(x,y)位于直线上f(x,y)>0，(x,y)位于直线上方
设决策参数pkp_kpk为M点的函数值：

pk=f(xk+1,yk+12)=a(xk+1)+b(yk+12)+cp_k = f (x_k+1, y_k+\frac12) = a (x_k+1) + b (y_k + \frac12) + cpk=f(xk+1,yk+21)=a(xk+1)+b(yk+21)+c
那么，

若pk≤0p_k ≤ 0pk≤0，Q应取A(xk+1,yk+1)(x_k+1, y_k+1)(xk+1,yk+1)，

若pk＞0p_k ＞ 0pk＞0，Q应取B(xk+1,yk)(x_k+1, y_k)(xk+1,yk)
因此，有如下关系：

当pk≤0p_k ≤ 0pk≤0时，yk+1=yk+1y_{k+1} = y_k+1yk+1=yk+1
当pk＞0p_k ＞ 0pk＞0时，yk+1=yky_{k+1} = y_kyk+1=yk
既然像素取值取决于pk的符号，为避免浮点数运算，不妨取：

pk=2f(xk+1,yk+12)=2a(xk+1)+2b(yk+12)+2cp_k = 2 f (x_k+1, y_k+\frac12) = 2a (x_k+1) + 2b (y_k + \frac12) + 2cpk=2f(xk+1,yk+21)=2a(xk+1)+2b(yk+21)+2c
其中

{a=y1−y2,a=−∆yb=x2−x1,b=∆xc=x1y2−x2y1\left\{ \begin{array}{lr} a=y_1-y_2,a=-∆y \\ b=x_2-x_1,b=∆x\\ c=x_1y_2-x_2y_1 \end{array} \right. ⎩⎨⎧a=y1−y2,a=−∆yb=x2−x1,b=∆xc=x1y2−x2y1
进一步推导pkp_kpk与pk+1p_{k+1}pk+1的递推关系：

pk+1=2a(xk+1+1)+2b(yk+1+1/2)+2cp_{k+1}=2a (x_{k+1}+1) + 2b (y_{k+1} + 1/2) + 2cpk+1=2a(xk+1+1)+2b(yk+1+1/2)+2c

pk+1−pk=2a(xk+1−xk)+2b(yk+1−yk)=2a+2b(yk+1−yk)p_{k+1}-p_k=2a(x_{k+1}-x_k)+2b(y_{k+1}-y_k)=2a+2b(y_{k+1}-y_k)pk+1−pk=2a(xk+1−xk)+2b(yk+1−yk)=2a+2b(yk+1−yk)

最终，得到如下递推关系：
{pk+1=pk+2a+2b=pk−2∆y+2∆x,pk≤0pk+1=pk+2a=pk−2∆y，pk＞0\left\{ \begin{array}{lr} p_{k+1} = p_k + 2a + 2b= p_k - 2∆y + 2∆x& , p_k ≤ 0\\ p_{k+1}= p_k + 2a = p_k - 2∆y &，p_k ＞ 0& \end{array} \right. {pk+1=pk+2a+2b=pk−2∆y+2∆xpk+1=pk+2a=pk−2∆y,pk≤0，pk＞0
对于线段的起始端点(x1, y2)，决策变量p0为

p0=2f(x0+1,y0+12)=2a(x0+1)+2b(y0+12)+2=2ax0+2a+2by0+b+2=2f(x0,y0)+2a+b=2a+b=−2∆y+∆x\begin {aligned} \ p_0 = 2 f (x_0+1, y_0+\frac12) & = 2a (x_0+1) + 2b (y_0+\frac12) + 2\\ & = 2a x_0+ 2a + 2b y_0+ b + 2&\\ & = 2 f(x_0, y_0) + 2a + b&\\ &= 2a + b = -2∆y +∆x \end{aligned} p0=2f(x0+1,y0+21)=2a(x0+1)+2b(y0+21)+2=2ax0+2a+2by0+b+2=2f(x0,y0)+2a+b=2a+b=−2∆y+∆x
可见，中点画线算法与Bresenham算法的原理相同，只是在确定决策参数pk时不同。

中点画线算法也仅包含整数运算，算法效率很高。

二、C语言实现


void MidpointLine(int x0,int y0,int x1,int y1,int color)
{int dx = abs(x1 - x0);int sx = x0<x1: 1: -1;int dy = abs(y1 - y0);int sy = y0<y1: 1: -1;int a = -sy*dy,b=sx*dx;int p = 2*a + b;while(putpixle(x0,y0),x0 != x1 || y0 !=y1){if(dx > dy){x0+=sx;if(p < 0) {p +=2*(a+b);y+=sy;}else     {p+=2*a;}}              else{y0+=sy;if(p < 0) {p +=2*(a+b);x +=sx;}else     {p+=2*a;}}  }
}

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