1矩阵序列

1.1定义

设有矩阵序列{A(k)}\{A^{(k)}\}{A(k)}k是标号，代表序列中第几个矩阵的意思当k→∞,A(k)=Ak\rightarrow \infty,A^{(k)}=Ak→∞,A(k)=A时，我们称之为矩阵序列收敛。

1.2收敛矩阵序列的性质

1.3收敛矩阵

对于方阵A，当k→∞,Ak=0k\rightarrow \infty,A^k=0k→∞,Ak=0时，我们称之为收敛矩阵。
定理：方阵A收敛的充要条件是A的所有特征值的模都小于1.

2矩阵级数

2.1定义

矩阵序列的无穷和A(1)+A(2)+...+A(n)+...A^{(1)}+A^{(2)}+...+A^{(n)}+...A(1)+A(2)+...+A(n)+...称为矩阵级数，若是∑i=0∞A(k)=S\sum_{i=0}^{\infty}A^{(k)}=S∑i=0∞A(k)=S,则称矩阵级数收敛于S。
若矩阵级数∑i=0∞A(k)=S\sum_{i=0}^{\infty}A^{(k)}=S∑i=0∞A(k)=S的所有元素∑i=0∞aij(k)=S\sum_{i=0}^{\infty}a_{ij}^{(k)}=S∑i=0∞aij(k)=S均绝对收敛，则称该级数为绝对收敛.

3方阵的幂级数

A为方阵，∑i=0∞ckA(k)\sum_{i=0}^{\infty}c_kA^{(k)}∑i=0∞ckA(k)称为A的幂级数。∑i=0∞A(k)\sum_{i=0}^{\infty}A^{(k)}∑i=0∞A(k)称为A的Neumann级数。

3.1Neumann级数收敛的充要条件

Neumann级数收敛的充要条件是A为收敛矩阵,且在收敛时其和为 (I−A)−1(I-A)^{-1}(I−A)−1
证明没看懂

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