战场控制系统线段树

NKOJ 1909 战场控制系统

问题描述

2050年，人类与外星人之间的战争已趋于白热化。就在这时，人类发明出一种超级武器，这种武器能够同时对相邻的多个目标进行攻击。凡是防御力小于或等于这种武器攻击力的外星人遭到它的攻击，就会被消灭。然而，拥有超级武器是远远不够的，人们还需要一个战地统计系统时刻反馈外星人部队的信息。这个艰巨的任务落在你的身上。请你尽快设计出这样一套系统。

这套系统需要具备能够处理如下2类信息的能力：

1.外星人向[x1，x2]内的每个位置增援一支防御力为v的部队。
2.人类使用超级武器对[x1，x2]内的所有位置进行一次攻击力为v的打击。系统需要返回在这次攻击中被消灭的外星人个数。

注：防御力为i的外星人部队由i个外星人组成，其中第j个外星人的防御力为j。

输入格式

第一行读入n，m。其中n表示有n个位置，m表示有m条信息。
以下有m行，每行有4个整数k，x1，x2，v用来描述一条信息。k表示这条信息属于第k类。x1，x2，v为相应信息的参数。k=1 or 2。
注：你可以认为最初的所有位置都没有外星人存在。

规模

0< n<=1000；0 < x1 <= x2<=n；0 < v <= 1000；0 < m <= 2000

输出格式

按顺序输出需要返回的信息。

其实是线段树水题，但是因为对线段树的掌握还不是很好，错了很多次。

本题的规模相对其他线段树的题来说比较小，允许我们开1000个线段树维护每个防御力的外星人的分布情况。接下来的就是线段树的基本操作了。

以下为教训：

对于区间修改的题，最容易出问题的地方是lazy标记的合并。为了保证每次区间修改操作仍为O(logN)的复杂度，我们选用了打上lazy标记，在询问到时再处理的方式。如果当前节点下放lazy时，左右儿子节点也有lazy标记，那么下放时必须考虑lazy的合并。

对于lazy的合并，有绝对正确的做法：遇到左右儿子有lazy就递归处理，先处理了左右儿子的lazy下放，再处理当前节点的lazy。然而这样会使lazy退化，putdown函数失去了O(1)的时间复杂度优势。我们必须尽可能保证putdown函数O(1)的时间复杂度(如：SCOI2010序列操作是线段树的模板题，但是如果没处理好各种类型lazy的合并就会WA)。

关于lazy的合并，记住以下两点：

lazy的合并很多情况下不满足交换律，如本题“合并 父亲lazy=-1与儿子lazy>0”和“合并 父亲lazy>0与儿子lazy=-1””处理方式有所不同。

考虑lazy的合并时，除了当前节点和左右儿子，还要消去对儿子的儿子节点操作正确性造成的影响。这样其实已经有递归的意思，但是没有递归那么多的时间。

对于1，参照本题完整代码Putdown函数。

对于2，参照本题合并父亲lazy>0（整个区间加上某些数）与儿子lazy=-1（清空该区间）的情况：

对于下图，比较两段代码：

WA代码：

void Putdown(int p)
{int l=ls[p],r=rs[p];if(lazy[p]>0){if(lazy[l]==-1){lazy[l]=lazy[p];sum[l]=(b[l]-a[l]+1)*lazy[p];}else{lazy[l]+=lazy[p];sum[l]+=(b[l]-a[l]+1)*lazy[p];}……}……
}

AC代码：

void Putdown(int p)
{int l=ls[p],r=rs[p];if(lazy[p]>0){if(lazy[l]==-1){lazy[l]=lazy[p];sum[l]=(b[l]-a[l]+1)*lazy[p];//相比上面的代码，多了以下两行：lazy[ls[l]]=lazy[rs[l]]=-1;sum[ls[l]]=sum[rs[l]]=0;}else{lazy[l]+=lazy[p];sum[l]+=(b[l]-a[l]+1)*lazy[p];}……}……
}

可以看到，在下放1号节点的lazy值时，如果按照第一段代码，在之后下放2号节点时，lazy[3]将会被直接赋为3，而实际上，3号节点是再被清空一次之后再下放lazy=2，lazy本来应该为2。而第二段代码就很好地回避了这个问题。这就是上面说的“消去对儿子的儿子节点的影响”。

其实可以发现，多出的两行是等价于putdown(p)的，但是由于当lazy=-1时绝不会递归下去，仍然是O(1)的。在任何情况下都先下放儿子节点才会出现递归导致超时的问题。

非常改悔的完整代码：

#include<stdio.h>
#define MAXN 1005
#define MAXT 4000005
int N,M;int rt[MAXN],ls[MAXT],rs[MAXT],tot,lazy[MAXT],a[MAXT],b[MAXT],sum[MAXT];
void Build(int p,int x,int y)
{a[p]=x;b[p]=y;if(x==y)return;int mid=x+y>>1;ls[p]=++tot;Build(ls[p],x,mid);rs[p]=++tot;Build(rs[p],mid+1,y);
}void Update(int p){sum[p]=sum[ls[p]]+sum[rs[p]];}void Putdown(int p)
{int l=ls[p],r=rs[p];if(lazy[p]==-1){sum[l]=sum[r]=0;lazy[l]=lazy[r]=-1;}else{if(lazy[l]==-1){lazy[l]=lazy[p];lazy[ls[l]]=lazy[rs[l]]=-1;sum[ls[l]]=sum[rs[l]]=0;sum[l]=(b[l]-a[l]+1)*lazy[p];}else{lazy[l]+=lazy[p];sum[l]+=(b[l]-a[l]+1)*lazy[p];}if(lazy[r]==-1){lazy[r]=lazy[p];lazy[ls[r]]=lazy[rs[r]]=-1;sum[ls[r]]=sum[rs[r]]=0;sum[r]=(b[r]-a[r]+1)*lazy[p];}else{lazy[r]+=lazy[p];sum[r]+=(b[r]-a[r]+1)*lazy[p];}}lazy[p]=0;
}void Add(int p,int x,int y)
{if(b[p]<x||a[p]>y)return;if(lazy[p])Putdown(p);if(b[p]<=y&&a[p]>=x){lazy[p]++;sum[p]+=(b[p]-a[p]+1);return;}Add(ls[p],x,y);Add(rs[p],x,y);Update(p);
}int GetSum(int p,int x,int y)
{if(b[p]<x||a[p]>y)return 0;if(lazy[p])Putdown(p);int L=0,R=0;if(b[p]<=y&&a[p]>=x){L=sum[p];lazy[p]=-1;sum[p]=0;return L;}L=GetSum(ls[p],x,y);R=GetSum(rs[p],x,y);Update(p);return L+R;
}int main()
{int i,j,k,v,x,y,Ans=0;scanf("%d%d",&N,&M);for(i=1;i<=1000;i++)rt[i]=++tot,Build(rt[i],1,N);for(i=1;i<=M;i++){scanf("%d%d%d%d",&k,&x,&y,&v);if(k==1)for(j=1;j<=v;j++)Add(rt[j],x,y);else{Ans=0;for(j=1;j<=v;j++)Ans+=GetSum(rt[j],x,y);printf("%d\n",Ans);}}
}

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