自相关函数(Autocorrelation Function,ACF)¹

^{对于时间序列rtr_trt，当我们考虑rtr_trt与它的过去值rt−ir_{t-i}rt−i的线性相依关系时，可以把相关系数的概念推广到自相关系数。rtr_trt与rt−lr_{t-l}rt−l的相关系数称为rtr_trt的间隔为lll的自相关系数，通常记为ρl\rho_lρl，在弱平稳性的假定条件下，它只是关于lll的函数：

ρl=Cov(rt,rt−l)Var(rt)Var(rt−l)=Cov(rt,rt−l)Var(rt)=γlγ0\begin{aligned} \rho_l &= \frac{Cov(r_t,r_{t-l})}{\sqrt{Var(r_t)Var(r_{t-l})}} \\ &= \frac{Cov(r_t,r_{t-l})}{Var(r_t)} \\ &= \frac{\gamma_l}{\gamma_0} \end{aligned} ρl=Var(rt)Var(rt−l)Cov(rt,rt−l)=Var(rt)Cov(rt,rt−l)=γ0γl

这里用到了弱平稳性的性质Var(rt)=Var(rt−l)Var(r_t)=Var(r_{t-l})Var(rt)=Var(rt−l)。由定义²，我们有:}

ρ0=1\rho_0=1ρ0=1
ρl=ρ−l\rho_l=\rho_{-l}ρl=ρ−l
−1≤ρl≤1-1 \leq \rho_l \leq 1−1≤ρl≤1

当且仅当对所有的l>0l>0l>0，都有ρl=0\rho_l=0ρl=0，则称一个弱平稳序列是序列不相关的。

样本自相关系数

对一个给定的样本序列{rt}t=1T\{r_t\}_{t=1}^T{rt}t=1T，设 r‾\overline{r}r 是样本均值，则rtr_trt的间隔为1的样本自相关系数：
ρ^1=∑t=2T(rt−r‾)(rt−1−r‾)∑t=1T(rt−r‾)2\hat{\rho}_1 = \frac{\sum_{t=2}^T (r_t-\overline{r})(r_{t-1}-\overline{r})}{\sum_{t=1}^T (r_t-\overline{r})^2} ρ^1=∑t=1T(rt−r)2∑t=2T(rt−r)(rt−1−r)
在某些一般性条件下，ρ^1\hat{\rho}_1ρ^1是ρ1\rho_1ρ1的相合估计。rtr_trt的间隔为lll的样本自相关系数可定义为：
ρ^l=∑t=l+1T(rt−r‾)(rt−l−r‾)∑t=1T(rt−r‾)2,0≤l<T−1\hat{\rho}_l = \frac{\sum_{t=l+1}^T (r_t-\overline{r})(r_{t-l}-\overline{r})}{\sum_{t=1}^T (r_t-\overline{r})^2},0 \leq l < T-1 ρ^l=∑t=1T(rt−r)2∑t=l+1T(rt−r)(rt−l−r),0≤l<T−1
若{rt}\{r_t\}{rt}是一个独立同分布序列，满足E(rt2)<∞E(r_t^2)<\inftyE(rt2)<∞，则对任意固定的正整数lll，ρ^l\hat{\rho}_lρ^l渐进的服从均值为0，方差为1T\frac{1}{T}T1的正态分布。

参考

Ruey S. Tsay.金融时间序列分析[D].王远林,王辉,潘家柱译. ↩︎
时间序列之相关概念 ↩︎

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