最近我们被客户要求撰写关于时间序列的研究报告，包括一些图形和统计输出。

相关视频：在Python和R语言中建立EWMA，ARIMA模型预测时间序列

本文从实践角度讨论了季节性单位根。我们考虑一些时间序列，例如道路上的交通流量，


> plot(T,X,type="l")
> reg=lm(X~T)
> abline(reg,col="red")

如果存在趋势，我们应该将其删除，然后处理残差

> Y=residuals(reg)
> acf(Y,lag=36,lwd=3)

我们可以看到这里有一些季节性。第一个策略可能是假设存在季节性单位根，因此我们考虑，我们尝试找到ARMA模型。考虑时间序列的自相关函数，

> Z=diff(Y,12)
> acf(Z,lag=36,lwd=3)

或偏自相关函数

第一个图可能建议MA（1），而第二个图可能建议AR（1）时间序列。我们都尝试。


arima
Coefficients:ma1  intercept-0.2367  -583.7761
s.e.   0.0916   254.8805sigma^2 estimated as 8071255:  log likelihood = -684.1,  aic = 1374.2

可以认为是白噪声（如果您不确定，请尝试 Box-Pierce或Ljung-Box 测试）。


arima
Coefficients:ar1  intercept-0.3214  -583.0943
s.e.   0.1112   248.8735sigma^2 estimated as 7842043:  log likelihood = -683.07,  aic = 1372.15

也可以视为白噪声。到目前为止，我们有

对于一些白噪声。这表明以下的SARIMA结构，


arima
Coefficients:ar1-0.2715
s.e.   0.1130sigma^2 estimated as 8412999:  log likelihood = -685.62,  aic = 1375.25

现在，如果我们认为我们没有季节性单位根，而在AR结构中只是一个大的自回归系数。让我们尝试类似

自然而然的猜测是该系数应该（可能）接近于1。让我们尝试一下


arima
Coefficients:ar1    sar1  intercept-0.1629  0.9741  -684.9455
s.e.   0.1170  0.0115  3064.4040sigma^2 estimated as 8406080:  log likelihood = -816.11,  aic = 1640.21

这与我们先前（以某种方式）获得的结果具有可比性，因此我们可以假设该模型是一个有趣的模型。我们将进一步讨论：第一个系数可能是不重要的。

这两个模型有什么区别？

从（非常）长期的角度来看，模型是完全不同的：一个模型是平稳的，因此预测将趋向于平均值，而另一个模型则是按季节的，因此置信区间将增加。我们得到

> pre(model2,600,b=60000)

对于平稳的

> prev(model3,600,b=60000)

但是，使用这些模型进行的预测仅适用于短期范围。在这种情况下，这里的预测几乎相同，

> pre(model2,36,b=60000)

> pre(model3,36,b=60000)

现在，如果我们回到第二个模型，自回归系数可能被认为是不重要的。如果我们将其删除怎么样？


Call:
seasonal = list(order = c(1, 0, 0)
Coefficients:sar1  intercept0.9662  -696.5661
s.e.  0.0134  3182.3017sigma^2 estimated as 8918630:  log likelihood = -817.03,  aic = 1640.07

如果我们看一下（短期）预测，我们得到

> pre(model,36,b=32000)

有什么区别吗？如果我们看一下预测结果数字，我们会得到

数字不同，但差异不大（请注意置信区间的大小）。这可以解释为什么在R中，当我们在自回归过程时，得到一个模型要估计的参数 $https://latex.csdn.net/eq?p$ ，即使其中不重要，我们通常也会保留它们来预测。

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