离散数学-一阶逻辑等值式与置换规则

一阶逻辑等值式

一阶逻辑等值式除了前面的十六组二十四个等值式之外，在引入量词之后，进而有了几组量词相关的等值式，下面对其作重点介绍。

1、量词否定等值式

(1) ¬∀xA(x) <=> ∃x¬A(x)

（等值符号我不会打，只能用<=>来代替，请见谅）

(2) ¬∃xA(x) <=> ∀x¬A(x)

记住等值式并且会运用的前提是理解，不仅要会数学上推导，而且要从文字方面理解。

我们可以举一个例子：

给出解释为x是学生，A(x)是喜欢写作业。

那么第一个，不是所有的学生都喜欢写作业，和存在不喜欢写作业的学生。这两句话描述的是有的学生喜欢写作业，而有的学生不喜欢，是完全等价的；第二个，不存在学生喜欢写作业，和所有的学生都不喜欢写作业。这两句话描述的是所有的学生都不喜欢写作业，没有喜欢写作业的学生，也是完全等价的。

从中我们可以知道，全称量词和存在量词是可以相互转换的：不是所有<=>存在不是的，¬∀ <=> ∃¬

没有一个<=>所有都没有，¬∃ <=> ∀¬

另外，在证明公式时，不是只有存在否定符号时才可以用量词否定等值式，可以先用双重否定律(A <=> ¬¬A)让式子中出现¬，然后再用上面两个式子进行量词的转换。

这组式子比较容易掌握，我们来看下面一组。

2、量词辖域收缩与扩张等值式

设公式A(x)含有x的自由出现，而B中不含x的自由出现（这个条件为什么是这个样子，后文会作解释，现在先不用管）。

(1) ∀x(A(x) ∨ B) <=> ∀xA(x) ∨ B

∀x(A(x) ∧ B) <=> ∀xA(x) ∧ B

∀x(A(x) → B) <=> ∃xA(x) → B

∀x(B → A(x)) <=> B → ∀xA(x)

(2) ∃x(A(x) ∨ B) <=> ∃xA(x) ∨ B

∃x(A(x) ∧ B) <=> ∃xA(x) ∧ B

∃x(A(x) → B) <=> ∀xA(x) → B

∃x(B → A(x)) <=> B → ∃xA(x)

我们来仔细观察以上两组式子，可以发现这两组式子形式基本上是一致的，第一组式子和第二组式子的不同仅仅在于换了个量词。

下面我们来解释第一组的第一个式子：

给出解释为x是警察，A(x)是聪明，B是世界末日。

那么第一组中的第一个，对于所有的警察，要么很聪明，要么世界末日，和所有聪明的警察，或者世界末日。很明显，这两句话表达的意思是一样的。我们一定会觉得“世界末日”和“警察”，即变量x，没有关系。这正好是呼应了上文的条件，B中是不含x自由出现的，也即“世界末日”这个谓词，不能形容警察，也就不能和警察有联系。

在这个式子中，我们看到，量词的辖域收缩或者扩张了，辖域即量词的作用域，能让这个量词起作用的地方。

然而我们能轻易理解的一般是有关联的例子，没有关联的例子在逻辑数学中成立，但在现实生活中就不一定成立。为了更好的理解第一个式子，我们先假设B和x是有联系的，即让B中含有x的自由出现，看看下面这个等值式是否成立：

∀x(A(x) ∨ B(x)) <=> ∀xA(x) ∨ ∀xB(x)

给出解释为x是学生，A(x)是x聪明，B(x)是x漂亮。

那么对于所有的学生，不是聪明，就是漂亮，和要么所有的学生都聪明，要么所有的学生都漂亮。第一句话表示所有的学生中，既有聪明的人，又有漂亮的人，与第二句话的意思明显不同，所以这个式子是不成立的，这也就解释了为什么量词辖域收缩与扩张等值式要求B中不含x的自由出现了。

同样的道理，我们可以理解第一组和第二组的前两个式子。下面我们来看第一组和第二组的第三个式子。

给出解释为x是警察，A(x)是x聪明，B是小偷被抓。

那么第一组的第三个，对于所有的警察都满足，如果警察聪明，那么小偷被抓，和如果存在聪明的警察，那么小偷被抓。这两句话都是描述所有聪明的警察都可以使小偷被抓；第二组的第三个，存在警察满足，如果警察聪明，那么小偷被抓，和如果所有的警察都聪明，那么小偷被抓。这两句话都是表达了有些聪明的警察能够使小偷被抓，而有些不能。

从这两个式子我们可以看出，如果A(x)在前件，即蕴含符号的前面，在收缩或者扩张时，是需要变量词的。而如果A(x)在后件，看第四个式子，就不需要变量词。第四个式子也可以套用上面的解释来理解，这里就不再赘述了。

3、量词分配等值式

∀x(A(x) ∧ B(x)) <=> ∀xA(x) ∧ ∀xB(x)

∃x(A(x) ∨ B(x)) <=> ∃xA(x) ∨ ∃xB(x)

仍然取上文中的一个解释，x是学生，A(x)是x聪明，B(x)是x漂亮。

第一个式子，对于所有的学生满足，既聪明又漂亮，和所有的学生都聪明并且所有的学生都漂亮。容易看出这两句话是一个意思。而让我们再对比之前的∀x(A(x) ∨ B(x)) <=> ∀xA(x) ∨ ∀xB(x)（不成立），可以看出，对于全称量词，只有A(x)和B(x)合取的时候可以分配，而析取的时候不能。同样的，我们也可以推出，对于存在量词，只有A(x)和B(x)析取的时候可以分配，而合取的时候不能。

置换规则

简单来说就是把式子套进等值式中，从而进行一系列的推导。这个比较好理解，不用多说。

换名规则

就是将某个量词辖域中的字母换成另一个字母，字母怎么换都是不影响式子的表达的，更换前后式子等值，换不换都行，但是在某些情况下必须换。

举个例子：

∀x(A(x) ∨ B(x)) <=> ∀xA(x) ∨ ∀xB(x)

这个式子不是不成立吗？但是如果将B(x)换成B(y)，即∀x(A(x) ∨ B(y)) <=> ∀xA(x) ∨ ∀xB(y)，就成立了，它是量词辖域收缩与扩张等值式中第一组第一个式子。

再举一个例子：

(∀x1 F(x1,x2) → ∃x2 G(x2)) → ∀x1 H(x1,x2,x3)

我们可以看到，这个式子中的x1约束出现在了F谓词和H谓词中，在求解前束范式时也需要进行换名操作。因为x1虽然都是约束出现，但是谓词不一样，它们表示的不是一个东西，所以需要通过换名来区分。

PS：量词的顺序是不能颠倒的，但是消去量词时，不用考虑消去量词的顺序。

//以上是我个人的理解，如有错误，还请指正，我会及时修改的，谢谢。