线性代数的一些知识点
文章目录
- 1.行列式
- 逆序数
- 三阶行列式计算
- n阶行列式
- 行列式的性质
- 余子式和代数余子式
- 行列式展开
- 2.矩阵及其运算
- 非齐次线性方程和齐次线性方程
- 一些矩阵的命名
- 矩阵运算
- 伴随矩阵
- 逆矩阵
- 逆矩阵的运算规则与性质
- 奇异矩阵和非奇异矩阵
- 克拉默法则
- 3.矩阵的初等变换与线性方程组
- 矩阵初等
- 矩阵的秩
- 线性方程组解的情况
- 4.向量组的线性相关性
- n维向量
- 线性组合
- 线性表示
- 向量组
- 向量组的线性相关性
- 向量组的秩
- 线性方程组的解的结构
- 5.相似矩阵及二次型
- 内积的运算
- 正交的定义
- 标准正交基
- 标准正交化
- 正交矩阵
- 正交矩阵的性质
- 正交变换
- 特征值与特征向量
- 相似矩阵
- 对称矩阵的对角化
- 二次型、标准形、规范形
- 矩阵合同
- 正定二次型
- 赫尔维茨定理
- 总结
- 参考
1.行列式
逆序数
容易理解,就是小的在大的后面就是有一个逆序
三阶行列式计算
符号怎么确定呢?
就需要用到逆序数了。
三阶行列式可以如上定义计算,符号与排列的逆序数奇偶有关。
n阶行列式
不过一般都是降到三阶再计算行列式。
行列式的性质
行列式与它的转置行列式相等
对换行列式的两行(列),行列式变号 =>如果两行相同则行列式为0
行列式的某一行(列)中的所有元素都乘同一数k,等于用数k乘此行列式=>行列式中某一行(列)的所有公因子可以提到行列式记号外面。
行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为0
若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,可以对应元素拆出两个行列式。
把行列式的某一行(列)的各个元素乘同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变。
余子式和代数余子式
代数余子式就是多了个符号
行列式展开
有了这两个概念就可以对行列式进行降阶了:
看个例子感悟一下:
2.矩阵及其运算
非齐次线性方程和齐次线性方程
一些矩阵的命名
一些矩阵的概念
矩阵运算
矩阵加法
数与矩阵相乘
矩阵相乘
矩阵相乘的法则
矩阵运算不满足交换律
矩阵的转置运算:
方阵的行列式计算:
伴随矩阵
逆矩阵
其实也说明,矩阵有逆,那么这个矩阵应该是一个方阵。
逆矩阵的运算规则与性质
奇异矩阵和非奇异矩阵
首先需要是方阵,才能继续谈这矩阵是奇异矩阵还是非奇异矩阵。
克拉默法则
其中|A1|就是系数矩阵第一列元素换成右端常数项后得到的n阶矩阵,A2…以此类推。
3.矩阵的初等变换与线性方程组
矩阵初等
矩阵初等变换有三种形式
看个例子感悟一下:
B矩阵为系数矩阵+偏置矩阵
最终化为的形式为行阶梯形矩阵
当行阶梯形矩阵满足(1)非零行的首非零元为1;(2)首非零元所在的列的其他元均为0,则称此矩阵为行最简矩阵。
矩阵的秩
简单来说就是将矩阵化成行阶梯形矩阵,有多少行非零,则秩就是多少。
线性方程组解的情况
知道了如何求矩阵的秩
就可以来求解线性方程组解的情况了:
来个例子感悟一下:
4.向量组的线性相关性
n维向量
线性组合
线性表示
向量组
向量组的线性相关性
例题:
向量组的秩
线性方程组的解的结构
例题:
5.相似矩阵及二次型
内积的运算
正交的定义
标准正交基
标准正交化
感受一下这个过程:
正交矩阵
正交矩阵的性质
正交变换
上图这样的工作就是可以通过正交变换得到。
特征值与特征向量
来个例题感受一下怎么求:
相似矩阵
来个例题感受一下
对称矩阵的对角化
例题:
二次型、标准形、规范形
矩阵合同
例题:
正定二次型
赫尔维茨定理
例题:
总结
线性代数还是很重要的!以后还会再来补
参考
工程线性代数第六版-同济大学数学系 编
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