0. 导读 每个学习过线性代数的人，心中一定充满疑问，往往百思难得其解，本书列举一些，并且自然而然地解决了这些问题，
导读
如果你有幸读到这个线性代数系列，恭喜你！你将获得最自然和最本质的解读线性代数的方式。
每个学习过线性代数的人，心中一定充满疑问，往往百思难得其解，本系列列举一些，并且自然而然地解决了这些问题，希望你读完本系列后对这些问题有透彻理解。如果你从零开始学习线性代数，则希望你读到相关章节时带着这些问题仔细阅读。如果读者有时间，建议从头开始按顺序读，如果时间不够，建议认真阅读第一章，然后可以针对各个知识点选读，如遇到不懂的，可以看相关章节。
目标读者为两类，一类是零基础，另一类是学完线性代数之后的读者。所以本科生，研究生，科研工作者都能从本系列受益，甚至高中生都可以阅读本系列，因为读者不需要任何基础就能阅读本系列，只需有简单的矢量知识作为背景知识就能理解本系列。
线性代数用来解决什么问题的？线性代数以向量和矩阵为工具，解决线性空间中向量的合成与分解问题。
矩阵是什么？可以多角度观察，是有序向量组，是线性变换，甚至是数值表格。
矩阵乘法为什么那么定义，初看很变扭，其实很自然？就是向量合成。
AB≠BAAB \neq BAAB=BA，矩阵乘法一般情况下为什么不满足交换律，因为它们本来就是两个完全不同的对象。实数乘法满足交换律是个定理，需要证明，a个b的和居然等于b个a的和，多么不可思议！
矩阵行列式 detAdet AdetA 计算公式为什么那么复杂，这个数值到底代表什么？它其实就是A的列向量组构成的多边形的有向体积。那为什么要定义成体积呢？因为当A的列向量组线性相关（不可逆）时，此多边形的体积为0。
(AB)T＝BTAT;(AB)−1＝B−1A−1(AB)^T＝B^TA^T; (AB)^{-1}＝B^{-1}A^{-1}(AB)T＝BTAT;(AB)−1＝B−1A−1，矩阵转置和逆的公式为什么如此相似？因为方程 Ax=bA\mathbf {x}=\mathbf{b}Ax=b 的解空间为 ATuA^T\mathbf{u}ATu，与解 A−1bA^{-1}\mathbf{b}A−1b 形式相似。正交矩阵的转置等于逆：QT=Q−1Q^T=Q^{-1}QT=Q−1。
为什么只有方阵才可能有逆，方阵的列向量组线性无关时为什么可逆呢？因为此时方阵是个一一映射的变换。
矩阵有逆，其实还有左逆、右逆和伪逆，你知道吗？它们对应矩阵行列均满秩，列满秩、行满秩和列行均不满秩，它们分别用于求唯一解、最优近似解、范数最小解和最优近似解中范数最小的解（伪逆解）。
Ax=bA\mathbf {x}=\mathbf{b}Ax=b 对任意矩阵 AAA 存在通解公式吗？伪逆解 ＋＋＋ 零解！
矩阵的秩能用一句大白话让小学生深刻理解吗？秩就是方程 Ax=0A\mathbf {x}=\mathbf{0}Ax=0 独立方程的数量。
向量组线性无关为什么如此重要，因为它保证方程 Ax=bA\mathbf {x}=\mathbf{b}Ax=b 是单射。
矩阵 AmnA_{mn}Amn 的四个子空间：零空间 {x:Ax=0}\{\mathbf{x}:A\mathbf{x}=\mathbf{0}\}{x:Ax=0} 和行空间 {ATu}\{A^T\mathbf{u}\}{ATu}，它们是 RnR^nRn 空间中的正交互补子空间；左零空间 {x:ATx=0}\{\mathbf{x}:A^T\mathbf{x}=\mathbf{0}\}{x:ATx=0} 和列空间 {Av}\{A\mathbf{v}\}{Av} ，它们是 RmR^mRm 空间中的正交互补子空间。它们是方程Ax=bA\mathbf {x}=\mathbf{b}Ax=b 的核心概念！零空间 {x:Ax=0}\{\mathbf{x}:A\mathbf{x}=\mathbf{0}\}{x:Ax=0} 就是零解；行空间和列空间的维度相等，等于矩阵秩，这两个子空间构成一一映射，变换矩阵分别为 AmnA_{mn}Amn 和伪逆 Anm+A^+_{nm}Anm+ ；左零空间 {x:ATx=0}\{\mathbf{x}:A^T\mathbf{x}=\mathbf{0}\}{x:ATx=0} 不能被列空间 {Av}\{A\mathbf{v}\}{Av} 表示。如果没有理解这四个子空间，就不可能深刻理解方程 Ax=bA\mathbf {x}=\mathbf{b}Ax=b 。
注意到矩阵 ATAA^TAATA 和 AATAA^TAAT 的重要性吗？它们对计算左逆、右逆和伪逆极其重要，四个矩阵 ATAA^TAATA 、AATAA^TAAT 、ATA^TAT 和 AAA 秩均相同。
对称矩阵的谱定理 S=QΛQTS=Q\Lambda Q^TS=QΛQT 和任意矩阵的奇异值分解 A=UΣVTA=U\Sigma V^TA=UΣVT ，它们之间的内在联系你知道吗？
矩阵分解的目的是什么？如 Sn=QΛQTS_n=Q\Lambda Q^TSn=QΛQT ， Amn=UΣVTA_{mn}=U\Sigma V^TAmn=UΣVT ， An=XΛX−1A_n=X\Lambda X^{-1}An=XΛX−1 ， An=LDUA_n=LD UAn=LDU ， Amn=QRA_{mn}=QRAmn=QR ，An=XJX−1A_n=XJ X^{-1}An=XJX−1 ，An=QRQTA_n=QR Q^TAn=QRQT ，是为了各个分量尽可能解耦和简化方程Ax=bA\mathbf {x}=\mathbf{b}Ax=b 求解。由于矩阵的性质不同，故有各种分解形式。
你会证明奇异值分解 A=UΣVTA=U\Sigma V^TA=UΣVT 定理吗？
奇异值分解的应用你真正掌握了吗？数据压缩（矩阵低秩最优近似）、数据降维（PCA）、总体最小二乘法（TLS）、数据高度相关时如何拟合（伪逆或岭回归）。
矩阵特征值数值不稳定，而奇异值稳定，知道原因吗？
如何计算高阶矩阵的特征值？解方程吗，可是4阶以上方程无代数解啊！
矩阵 QRQRQR 分解对解方程的重要性。
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