SEIR模型

模型推导

在许多传染病中，易感者被感染后到有症状可以传播之前，存在一个暴露期。我们设平均的暴露期为1κ\frac{1}{\kappa}κ1，暴露类为EEE，结合易感染类SSS, 染病类III，恢复类RRR和总人口规模，得到以下流程：

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所以模型如下：
{S′=−βSIE′=βSI−κEI′=κE−αI(1.1)\left\{ \begin{aligned} S'&=-\beta S I\\ E'&=\beta S I - \kappa E \\ I'&=\kappa E - \alpha I \end{aligned} \right. \tag{1.1} ⎩⎪⎨⎪⎧S′E′I′=−βSI=βSI−κE=κE−αI(1.1)
事实上，有些疾病在暴露期也存在传染性，这可以通过传染因子ε\varepsilonε来降低传染性假设的模拟，模型更新为：
{S′=−βS(I+εE)E′=βS(I+εE)−κEI′=κE−αI(1.2)\left\{ \begin{aligned} S'&=-\beta S (I+\varepsilon E)\\ E'&=\beta S (I+\varepsilon E) - \kappa E \\ I'&=\kappa E - \alpha I \end{aligned} \right. \tag{1.2} ⎩⎪⎨⎪⎧S′E′I′=−βS(I+εE)=βS(I+εE)−κE=κE−αI(1.2)
以及初始条件
S(0)=S0,E(0)=E0,I(0)=I0S(0)=S_{0},\qquad E(0)=E_{0}, \qquad I(0)=I_{0}S(0)=S0,E(0)=E0,I(0)=I0

再生数

下一代矩阵

为了求得再生数，我们需要引入“下一代矩阵”的概念。
假设存在nnn个疾病仓室和mmm个无病仓室，令x∈Rnx \in R^{n}x∈Rn表示各个疾病仓室的人数, y∈Rmy \in R^{m}y∈Rm表示各个无病仓室的人数。记Fi\mathcal{F}_{i}Fi表示第iii个疾病仓室中发生继发性感染的增加率，Vi=Vi−−Vi+\mathcal{V}_{i}=\mathcal{V}^-_i-\mathcal{V}^+_iVi=Vi−−Vi+表示第iii个疾病仓室的疾病进展。Vi−\mathcal{V}^-_{i}Vi−表示第i个仓室的移除率，Vi+\mathcal{V}^+_iVi+表示其他方式转入到i仓室的变化率[1]^{[1]}[1]。于是仓室模型可以写成以下形式：
{xi′=Fi(x,y)−Vi(x,y)yj′=gj(x,y)(2.1)\left\{ \begin{aligned} x'_{i}&=\mathcal{F}_{i}(x,y)-\mathcal{V}_{i} (x,y)\\ y'_{j}&=g_{j}(x,y) \end{aligned} \right. \tag{2.1} {xi′yj′=Fi(x,y)−Vi(x,y)=gj(x,y)(2.1)
从上述定义和模型中，可以发现蕴含以下假设[2]^{[2]}[2]：

Fi(0,y)=0,Vi(0,y)=0\mathcal{F}_{i}(0,y)=0, \mathcal{V}_{i}(0,y)=0Fi(0,y)=0,Vi(0,y)=0对所有的y⩾0y\geqslant 0y⩾0和i=1,2,...,ni=1,2,...,ni=1,2,...,n
无病系统y′=g(0,y)y'=g(0,y)y′=g(0,y)有唯一渐进稳定平衡点，即具有形如(0,y)的初始条件的所有解当t→∞t\rightarrow\inftyt→∞时都趋于点(0,y0)(0,y_0)(0,y0)。称此点为无病平衡点。
Fi(x,y)⩾0,Vi−(x,y)⩾0,Vi+(x,y)⩾0\mathcal{F}_{i}(x,y)\geqslant 0,\mathcal{V}^-_{i}(x,y)\geqslant 0,\mathcal{V}^+_{i}(x,y)\geqslant 0Fi(x,y)⩾0,Vi−(x,y)⩾0,Vi+(x,y)⩾0,对所有非负x,yx,yx,y以及i=1,2,...,ni=1,2,...,ni=1,2,...,n.
Vi−(x,y)=0\mathcal{V}^-_{i}(x,y)= 0Vi−(x,y)=0,当xi=0,i=1,2,...,nx_{i}=0,i=1,2,...,nxi=0,i=1,2,...,n
∑i=1nVi(x,y)⩾0\sum^{n}_{i=1}\mathcal{V}_{i}(x,y)\geqslant 0∑i=1nVi(x,y)⩾0, 对所有非负xxx和yyy.

假设单个染病者进入原来没有疾病的入口，通过人员传播疾病的最初能力由上述模型(2.1)关于无病平衡点(0,y0)(0,y_0)(0,y0)的线性化的研究决定。从假设1中可以得到
∂Fi∂yj(0,y0)=∂Vi∂yj(0,y0)=0\frac{\partial \mathcal{F}_i}{\partial y_j}(0,y_0)=\frac{\partial \mathcal{V}_i}{\partial y_j}(0,y_0)=0 ∂yj∂Fi(0,y0)=∂yj∂Vi(0,y0)=0
DFi(x,y)=(∂Fi(x,y)∂x1...∂Fi(x,y)∂xn∂Fi(x,y)∂y1...∂Fi(x,y)∂ym)(dx1...dxndy1...dym)TD\mathcal{F}_i(x,y)=(\frac{\partial \mathcal{F}_i(x,y)}{\partial x_1}...\frac{\partial \mathcal{F}_i(x,y)}{\partial x_n} \frac{\partial \mathcal{F}_i(x,y)}{\partial y_1}...\frac{\partial \mathcal{F}_i(x,y)}{\partial y_m})(dx_1...dx_n dy_1...dy_m)^T DFi(x,y)=(∂x1∂Fi(x,y)...∂xn∂Fi(x,y)∂y1∂Fi(x,y)...∂ym∂Fi(x,y))(dx1...dxndy1...dym)T
DFi(x,y)=∑j=1n∂Fi(x,y)∂xjdxj+∑j=1m∂Fi(x,y)∂yjdyjD\mathcal{F}_i(x,y)=\sum^n_{j=1}\frac{\partial \mathcal{F}_i(x,y)}{\partial x_j}dx_j+\sum^m_{j=1}\frac{\partial \mathcal{F}_i(x,y)}{\partial y_j}dy_j DFi(x,y)=j=1∑n∂xj∂Fi(x,y)dxj+j=1∑m∂yj∂Fi(x,y)dyj
DFi(0,y0)=∑j=1n∂Fi(0,y0)∂xjdxjD\mathcal{F}_i(0,y_0)=\sum^n_{j=1}\frac{\partial \mathcal{F}_i(0,y_0)}{\partial x_j}dx_j DFi(0,y0)=j=1∑n∂xj∂Fi(0,y0)dxj
DFi(0,y0)=(∂Fi(0,y0)∂x1...∂Fi(0,y0)∂xn)(dx1...dxn)TD\mathcal{F}_i(0,y_0)=(\frac{\partial \mathcal{F}_i(0,y_0)}{\partial x_1}...\frac{\partial \mathcal{F}_i(0,y_0)}{\partial x_n})(dx_1...dx_n)^T DFi(0,y0)=(∂x1∂Fi(0,y0)...∂xn∂Fi(0,y0))(dx1...dxn)T
由∂Fi(0,y0)∂xj\frac{\partial \mathcal{F}_i(0,y_0)}{\partial x_j}∂xj∂Fi(0,y0)为常数，所以
Fi(0,y0)=(∂Fi(0,y0)∂x1...∂Fi(0,y0)∂xn)(x1...xn)T\mathcal{F}_i(0,y_0)=(\frac{\partial \mathcal{F}_i(0,y_0)}{\partial x_1}...\frac{\partial \mathcal{F}_i(0,y_0)}{\partial x_n})(x_1...x_n)^T Fi(0,y0)=(∂x1∂Fi(0,y0)...∂xn∂Fi(0,y0))(x1...xn)T
则方程可以写为
x′=(F−V)x(2.2)x'=(F-V)x\tag{2.2} x′=(F−V)x(2.2)
其中
F=(∂Fi(0,y0)∂xj)n×n和V=(∂Vi(0,y0)∂xj)n×nF=(\frac{\partial \mathcal{F}_i(0,y_0)}{\partial x_j})_{n\times n} 和 V=(\frac{\partial \mathcal{V}_i(0,y_0)}{\partial x_j})_{n\times n} F=(∂xj∂Fi(0,y0))n×n和V=(∂xj∂Vi(0,y0))n×n
由假设2，系统(2.1)的线性稳定型完全由F−VF-VF−V的线性稳定性决定。
由初始条件x(0)=x0,F=0x(0)=x_0,F=0x(0)=x0,F=0(没有继发性感染)，解得
x(t)=e−Vtx0x(t)=e^{-Vt}x_0 x(t)=e−Vtx0
所以每个仓室内指标个案所经历的期望时间为
∫0∞te−Vtx0dt=V−1x0\int^{\infty}_{0}te^{-Vt}x_0dt=V^{-1}x_0 ∫0∞te−Vtx0dt=V−1x0
由指标个案产生的继发性染病的期望数可表示成患病期的期望时间与出现继发性染病率的积，FFF的(i,j)(i,j)(i,j)元素是由仓室jjj中的指标个案再仓库iii中产生的继发性染病率，V−1V^{-1}V−1可解释成最初进入疾病仓室jjj的个体在疾病仓室iii所经历的期望时间。所以由FV−1x0FV^{-1}x_0FV−1x0给出，定义KL=FV−1K_L=FV^{-1}KL=FV−1为系统在无病平衡点的下一代矩阵，称为有小定义域的下一代矩阵。

由下一代矩阵定义再生数

定义R0=ρ(FV−1)\mathcal{R}_0=\rho(FV^{-1})R0=ρ(FV−1)为KLK_LKL的谱半径，如果R0<1\mathcal{R}_0<1R0<1无病平衡点渐近稳定，R0>1\mathcal{R}_0>1R0>1不稳定，则R0\mathcal{R}_0R0为再生数。

下面证明R0\mathcal{R}_0R0为再生数。
定义1 ZZZ符号型矩阵 \qquad如果A=sI−B,B⩾0A=sI-B,B\geqslant 0A=sI−B,B⩾0，则AAA称为有ZZZ符号型的。
定义2 MMM-型矩阵 A=sI−B,B⩾0,s⩾ρ(B)\qquad A=sI-B,B\geqslant 0, s\geqslant \rho(B)A=sI−B,B⩾0,s⩾ρ(B)，则称AAA为MMM-矩阵。
引理1[3]^{[3]}\qquad[3]如果AAA有ZZZ符号型，则A−1⩾0A^{-1}\geqslant 0A−1⩾0，当且仅当AAA是非奇异MMM-矩阵。
由假设知FFF非负，VVV非对角线元素非正，因此VVV有ZZZ符号型。而VVV的列元素之和为正或为零，则VVV为MMM-矩阵，不妨设为非奇异的，由引理1知V−1⩾0V^{-1}\geqslant 0V−1⩾0。因此KL=FV−1K_L=FV^{-1}KL=FV−1也是非负的。
引理2\qquad如果FFF非负，VVV是非奇异MMM-矩阵，则R0=ρ(FV−1)<1\mathcal{R}_0=\rho(FV^{-1})<1R0=ρ(FV−1)<1，当且仅当(F−V)(F-V)(F−V)的所有特征值有负实部。
证明\qquad由引理1，V−1⩾0V^{-1}\geqslant 0V−1⩾0，因此(I−FV−1)(I-FV^{-1})(I−FV−1)有ZZZ符号型。又由引理1，(I−FV−1)−1⩾0(I-FV^{-1})^{-1}\geqslant 0(I−FV−1)−1⩾0当且仅当ρ(FV−1)<1\rho(FV^{-1})<1ρ(FV−1)<1。由等式
{(V−F)−1=V−1(I−FV−1)V(V−F)−1=I+F(V−F)−1\begin{cases} (V-F)^{-1}=V^{-1}(I-FV^{-1})\\ V(V-F)^{-1}=I+F(V-F)^{-1} \end{cases} {(V−F)−1=V−1(I−FV−1)V(V−F)−1=I+F(V−F)−1
推得
V(V−F)−1=I+F(V−F)−1=I+FV−1(I−FV−1)−1=(I−FV−1)(I−FV−1)−1+FV−1(I−FV−1)−1=(I−FV−1)−1F(V−F)−1=FV−1(I−FV−1)−1\begin{aligned} V(V-F)^{-1} &= I+F(V-F)^{-1} \\ &=I+FV^{-1}(I-FV^{-1})^{-1} \\ &=(I-FV^{-1})(I-FV^{-1})^{-1}+FV^{-1}(I-FV^{-1})^{-1} \\ &=(I-FV^{-1})^{-1} \\ F(V-F)^{-1}&=FV^{-1}(I-FV^{-1})^{-1} \end{aligned} V(V−F)−1F(V−F)−1=I+F(V−F)−1=I+FV−1(I−FV−1)−1=(I−FV−1)(I−FV−1)−1+FV−1(I−FV−1)−1=(I−FV−1)−1=FV−1(I−FV−1)−1
注意到F⩾0,FV−1⩾0F\geqslant 0, FV^{-1}\geqslant 0F⩾0,FV−1⩾0得到(V−F)−1⩾0(V-F)^{-1}\geqslant 0(V−F)−1⩾0当且仅当(I−FV−1)−1⩾0(I-FV^{-1})^{-1}\geqslant 0(I−FV−1)−1⩾0。
而(V−F)(V-F)(V−F)有ZZZ符号型，所以(V−F)−1⩾0(V-F)^{-1}\geqslant 0(V−F)−1⩾0当且仅当(V−F)(V-F)(V−F)是非奇异MMM-矩阵。由于非奇异MMM-矩阵特征值实部皆正，则主对角线元素都为正(反方向可由递归法化成上三角阵证明)，非主对角线上元素都为负，则该矩阵为非奇异MMM-矩阵[4]^{[4]}[4]。从而(F−V)(F-V)(F−V)的所有特征值有负实部。
定理\qquad对于模型(1)，如果R0<1\mathcal{R}_0 < 1R0<1，则
无病平衡点局部渐近稳定，如果R0>1\mathcal{R}_0 > 1R0>1，则
不稳定。
证明\qquad对系统按照上述方式求线性化的雅可比矩阵，得分块结构
J=(F−V0J21J22)J = \begin{pmatrix} F-V & 0 \\ J_{21} & J_{22} \end{pmatrix} J=(F−VJ210J22)
若JJJ的所有特征值具有负实部，则无病平衡点局部渐近稳定。显然JJJ的特征值为F−VF-VF−V和J22J_{22}J22的特征值。由假设2知J22J_{22}J22的所有特征值有负实部。由引理2知F−VF-VF−V的所有特征值有负实部，当且仅当ρ(FV−1)<1\rho(FV^{-1}) < 1ρ(FV−1)<1。所以R0=ρ(FV−1)<1\mathcal{R}_0=\rho\left(FV^{-1}\right)<1R0=ρ(FV−1)<1时，无病平衡点局部渐近稳定。

对于R0⩾1\mathcal{R}_0\geqslant 1R0⩾1的不稳定性可以由连续性建立。若R0⩽1\mathcal{R}_0\leqslant 1R0⩽1，则对∀ε>0,((1+ε)I−FV−1)\forall\varepsilon>0,((1+\varepsilon)I-FV^{-1})∀ε>0,((1+ε)I−FV−1)是非奇异MMM-矩阵，由引理1，((1+ε)I−FV−1)−1⩾0((1+\varepsilon)I-FV^{-1})^{-1}\geqslant 0((1+ε)I−FV−1)−1⩾0。由引理2，(F−(1+ε)V)(F-(1+\varepsilon)V)(F−(1+ε)V)的所有特征值具有负实部。因为ε>0\varepsilon > 0ε>0任意，又特征值是矩阵元素的连续函数，则(F−V)(F-V)(F−V)的所有特征值具有负实部。反之，假设(F−V)(F-V)(F−V)所有的特征值具有负实部，对任何整数ε，(V+εI−F)\varepsilon，(V+\varepsilon I-F)ε，(V+εI−F)为非负MMM矩阵，由引理2，ρ(F(V+εI)−1)<1\rho(F(V+\varepsilon I)^{-1})<1ρ(F(V+εI)−1)<1。由ε\varepsilonε的任意性，可得ρ(FV−1)⩽1\rho(FV^{-1})\leqslant 1ρ(FV−1)⩽1，因此(F−V)(F-V)(F−V)至少有一个特征值具有正实部，当且仅当ρ(FV−1)>1\rho(FV^{-1})>1ρ(FV−1)>1，所以当R0>1\mathcal{R}_0>1R0>1时，无病平衡点不稳定。

综上，R0=ρ(FV−1)\mathcal{R}_0=\rho(FV^{-1})R0=ρ(FV−1)为再生数

SEIR模型的再生数

考虑模型(1.2)，疾病状态为EEE和III，得到
F=(εEβN+IβN0)V=(κE0−κEαI)\mathcal{F}= \begin{pmatrix} \varepsilon E\beta N+I\beta N \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \mathcal{V}= \begin{pmatrix} \kappa E & 0 \\ -\kappa E & \alpha I \end{pmatrix} F=(εEβN+IβN0)V=(κE−κE0αI)
则
F=(εβNβN00)V=(κ0−κα)V−1=(1κ01α1α)F= \begin{pmatrix} \varepsilon\beta N & \beta N \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad V= \begin{pmatrix} \kappa & 0 \\ -\kappa & \alpha \end{pmatrix} \qquad V^{-1}= \begin{pmatrix} \frac{1}{\kappa} & 0 \\ \\ \frac{1}{\alpha} & \frac{1}{\alpha} \end{pmatrix} F=(εβN0βN0)V=(κ−κ0α)V−1=⎝⎛κ1α10α1⎠⎞
可以计算
KL=FV−1=(εβNκ+βNαβNα00)K_L = FV^{-1}= \begin{pmatrix} \frac{\varepsilon\beta N}{\kappa}+\frac{\beta N}{\alpha} & \frac{\beta N}{\alpha} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} KL=FV−1=(κεβN+αβN0αβN0)
于是R0=ρ(FV−1)=εβNκ+βNα\mathcal{R}_0=\rho(FV^{-1})=\frac{\varepsilon\beta N}{\kappa}+\frac{\beta N}{\alpha}R0=ρ(FV−1)=κεβN+αβN

最后规模关系

对模型(1.2)的第三个式子积分，得到
κ∫0∞E(s)ds=α∫0∞I(s)ds−I0\kappa\int^\infty_0 E(s)ds = \alpha\int^\infty_0 I(s)ds - I_0 κ∫0∞E(s)ds=α∫0∞I(s)ds−I0
对模型(1.2)的第一个式子从0~∞\infty∞积分，得
lnS0S∞=∫0∞β[I(s)+εE(s)]ds=β(ε+κα)∫0∞E(s)ds=R0(1−S∞N)−εβI0κ\begin{aligned} ln\frac{S_0}{S_\infty}&=\int^\infty_0 \beta[I(s)+\varepsilon E(s)]ds \\ &=\beta(\varepsilon+\frac{\kappa}{\alpha})\int^\infty_0 E(s)ds \\ &=\mathcal{R}_0(1-\frac{S_\infty}{N})-\frac{\varepsilon\beta I_0}{\kappa} \end{aligned} lnS∞S0=∫0∞β[I(s)+εE(s)]ds=β(ε+ακ)∫0∞E(s)ds=R0(1−NS∞)−κεβI0
我们假设I0=0I_0=0I0=0，并且初始染病者在第一阶段就可以传播疾病。则最后规模关系有形式lnS0S∞=R0(1−S∞N)ln\frac{S_0}{S_\infty}=\mathcal{R}_0(1-\frac{S_\infty}{N})lnS∞S0=R0(1−NS∞)，与简单SIR模型相同。

参考文献

[1]李霞. SEIR传染病模型综述[J]. 北京师范大学本科论文全文,2014-05-15.
[2]Wendi Wang,Xiao-Qiang Zhao. Threshold Dynamics for Compartmental Epidemic Models in Periodic Environments[J]. Journal of Dynamics and Differential Equations,2008,20(3).
[3]Berman A, Plemmons R J.Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences[M].New York:Academic press, 1979.
[4]张家驹.M矩阵的一些性质[J].数学年刊A辑(中文版),1980(01):47-50.

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