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1.思路

基于每日发布的COVID-19确诊感染人数，采用SEIR(Susceptible-Exposed-Infected-Recovered)传染病动力学模型，利用最小二乘法对模型中的参数 β，k，γ，μ\beta，k，\gamma，\muβ，k，γ，μ 以及潜伏者的初值E(0)进行拟合估计，选择合适的数据集和参数范围，进一步提高模型预测的精度和准度。该方法能够合理地预测美国COVID-19疫情确诊感染人数、死亡人数和疫情稳定阶段，对美国确诊感染人数的预测平均误差率在6%左右，对于疫情防控具有实用价值，对美国COVID-19疫情传播趋势具有研究意义。

为预测美国COVID-19疫情传播情况，本文主要分为4个部分。

第一部分：建立SEIR模型，在原始模型基础上进行改进，以提高精度和准度。

第二部分：模型求解，获取数据并进行数据预处理，运用最小二乘拟合进行参数估计，进而预测分析确诊感染人数。

第三部分：模型分析，对模型的可行性和灵敏度进行分析，确定模型的精度和准度。

2.问题分析

2.1问题重述

以一个国家或一个省/市的数据为例，建立数学模型描述新冠病毒的传播规律，并进行预测和分析，可以美国、香港或上海为例。本文选取美国作为研究对象，进行参数拟合和结果预测。主要的问题如下：

问题1：获取美国自COVID-19疫情发展之初至今的每日总确诊数以及单日新增感染、治愈、死亡人数，并整合到excel数据表格中；
问题2：基于已知数据，建立COVID-19疫情预测模型，对模型中的参数进行拟合，获取最优拟合参数，预测美国COVID-19疫情传播趋势以及确诊人数；
问题3：对模型进行可行性分析、灵敏度分析以及误差分析，判断预测结果的准确性和精度；
问题4：将模型运用于实际问题中，分析不同疫情防控措施对美国COVID-19疫情传播的影响，获取最佳的防控措施。

2.2研究过程

选取SEIR模型进行数学建模。

图1-研究过程

3.合理假设

(1) 不考虑出生和死亡，假设总人口为一个常数；

(2) 治愈后的个体具有免疫能力，不会再次感染；

(3) 人群分为易感人群、潜伏人群、感染人群和康复人群；

(4) 康复人群中包含治愈和死亡人数；

(5) 不考虑疫苗的预防作用。

4.符号定义

表1-符号定义

符号	定义
β\betaβ	感染系数
kkk	从暴露人群到确诊感染者的概率
γ\gammaγ	恢复系数
μ\muμ	死亡率

5.模型求解

5.1获取数据

在worldometer网站上有全球范围内较为权威的COVID-19感染人数统计情况，通过python程序获取网站的html文件并通过正则匹配获取美国疫情感染人数，部分数据如表2所示。由于人数较多，在不同时间统计结果中，近期的确诊人数不同，但数据差异不大，可忽略不计。

表2-COVID-19感染人数

日期	现存确诊	新增确诊	总确诊
2020-02-20	10	0	15
2020-02-21	29	20	35
2020-02-22	29	0	35
2020-02-23	28	0	35
2022-04-01	15429442	33740	81823322
2022-04-02	15311698	26663	81849985
2022-04-03	15175351	19579	81869564
2022-04-04	15037249	24048	81893612
2022-04-05	14938259	29696	81923308
2022-04-06	14840712	32311	81955619
2022-04-07	14757686	32659	81988278

图2-感染数据

5.2参数估计

目前已获取美国自疫情传播以来的所有数据，截至2022年4月7日，共有783组数据，数据量较大，可以直接进行参数拟合，不需要进行插值处理。

目前需要进行拟合的未知参数包括 β，k，γ，μ\beta，k，\gamma，\muβ，k，γ，μ 以及E(0)。

考虑到过拟合和病毒传播特性，采用近150天的数据进行最小二乘拟合，拟合后的参数值如表3所示。

表3-拟合后参数值

参数	拟合值
β\betaβ	0.014419668870111
kkk	0.012296625823406
γ\gammaγ	0.001492483739052
μ\muμ	0.008410009646738
E(0)	2.801840825482927e+07

5.3感染人数预测

通过以上模型和拟合过程，基于5.2中拟合出的参数，预测出接下来4年时间美国COVID-19感染人数，得到每日疫情预测情况。预测出的部分数据如表4所示。预测出的美国COVID-19疫情传播趋势如图Y轴为linear形式如图3所示，Y轴为log形式如图4所示。

表4-拟合数据

日期	现存确诊/人数	新增确诊/人数	总确诊/人数
2022-04-08	21791043	249395	87694573
2022-04-09	21824505	249487	87944060
2022-04-10	21857732	249582	88193642
2022-04-11	21890731	249679	88443321
2022-04-12	21923505	249777	88693098
2022-04-13	21956061	249879	88942977
2022-04-14	21988405	249982	89192959
2022-04-15	22020542	250087	89443046
2022-04-16	22052477	250195	89693241
2022-04-17	22084217	250304	89943545

图3-Y轴为linear

图4-Y轴为log

6.模型检验与分析

6.1可行性分析

（1）模型假设总人口为常数是可行的。在短时间内，出生人口数和死亡人口数可忽略不计。使用2020年至今的数据预测接下来两年时间美国感染人数，总计4年时间，时间较短，人口数量起伏不大，可以忽略不计。

（2）模型假设治愈后的人群具有免疫能力，康复后不会被感染是可行的。世界卫生组织曾公布康复者仍有可能二次感染，但这里的二次感染大多数是因为核酸检测和抗体检测的假阳性问题，对于完全康复的人群，其二次感染的可能几乎为0，所以可以假设康复人群具有免疫能力。

（3）假设总人群分为易感人群、潜伏人群、感染人群和康复人群是可行的。美国没有实行严格的防疫措施，几乎没有任何隔离措施，另外美国人更注重自由，所以可以假设所有人都暴露在病毒之下。

6.2灵敏度分析

采用不同的参数结果不同，采用不同参数总确诊数增幅不同，如图5所示。从图中可以看出，beta越大，k越大，gamma越小，mu越小，则总确诊人数的增幅越大，总确诊人数越大。由图6可知，当beta和k增大到一定范围内，对确诊人数的影响较小，不同参数时总确诊人数相同。

图5-参数变化对美国COVID-19疫情传播的影响

图6- $ \beta $ 和 kkk 较大时对美国COVID-19疫情传播的影响

6.3模型精度

根据真实总感染人数和预测总感染人数计算误差，获取相对误差，2022年03月01至2022年03月10日的真实感染人数和预测感染人数如表5所示。

表5- 美国确诊人数预测结果表

日期	预测确诊人数	实际确诊人数	相对误差
2022-03-01	78264620	80807299	3.14%
2022-03-02	78511957	80859204	2.90%
2022-03-03	78759317	80913172	2.66%
2022-03-04	79006701	80961171	2.41%
2022-03-05	79254112	80999815	2.16%
2022-03-06	79501550	81024985	1.88%
2022-03-07	79749019	81053566	1.61%
2022-03-08	79996518	81088326	1.35%
2022-03-09	80244050	81129499	1.09%
2022-03-10	80491618	81173942	0.84%

从表5中可以看出，预测的部分数据误差在0.8%到3.2%之间，误差较小。

在进行拟合的150组数据中，误差范围在0-14.9%之间，平均相对误差为6.42%，拟合效果较好，且有充分的数据支撑，可以较好的模拟出美国COVID-19疫情传播趋势。

6.4误差分析和模型改进

在该模型中，预测的结果仍有平均6.42%的误差，可能是以下几个原因造成的：

(1) 考虑到病毒的不确定性，美国COVID-19新增确诊人数波动性较大，较难获取最佳拟合效果。

(2) 随着疫情的发展以及科学技术水平的不断提高，新冠疫苗问世，但是本模型没有考虑疫苗的作用，可以增加新的变量代表疫苗的预防效果。在疫苗的作用下，接种疫苗的人群感染概率较低，并不均为易感人群。

(3) 本模型使用的数据为近150天的数据，奥密克戎毒株在美国盛行，但未来产生的新变异毒株的传染性未知，可能和奥密克戎毒株差异较大。仅使用SEIR模型具有局限性，可考虑结合其他模型及拟合方法，例如 AI模型，获取更好的拟合效果和预测精度。

(4) 没有考虑隐形传播者，即尚未被确诊但实际上已经感染新冠病毒的混在健康者中的人群，这类人群有更高的感染系数，所以需要对潜伏者和感染者进行重新定义，包含隐形传播者。

(5) 忽略了潜伏期患者的传播风险，潜伏人群仍具有一定的传播风险，但在本模型中将其假设为无传染性。

(6) 没有考虑住院或隔离患者的传染性，隔离和住院感染者可接触到的人群较少，且有较好的防护措施，和普通感染者的感染系数不同。

7. 结论

在不进行附加干预措施的情况下，在2026年左右美国疫情传播将到达稳定阶段，所有COVID-19感染者将会被治愈或死亡，现存确诊较少，仅有 1000例左右，S,E,I,R均趋于稳定，但是此时感染者人数已超过美国总人口的2/3，死亡人数已超过200万人。所以，进行有效的预防措施和接种疫苗是有必要的。

如6.2.2所示，降低 β、k、γ、μ\beta、k、\gamma、\muβ、k、γ、μ，可以有效降低总确诊人数。

目前beta的值为0.014419668870111，gamma的值为0.001492483739052，最终确诊人数为2.6亿人，如果 β\betaβ 能降低到0.01，最终确诊人数将降低到1.8亿人，可显著减少确诊人数。降低感染系数，首要的措施就是戴口罩，将易感人群和感染者隔离开。同时提高治愈率，这需要生物医学的发展以及政府的资金补助，当 γ\gammaγ 同时提高到0.01时，最终确诊人数将降到1.0亿，确诊人数显著减少。

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附录

附录1——使用的工具和软件

Python & MATLAB

附录2——代码

附录2.1
简介: python爬虫获取美国COVID-19疫情感染人数数据来源：https://www.worldometers.info/coronavirus/country/us/ 源码在get_data.py文件运行后获取true data.csv文件

附录2.2
简介: matlab拟合参数及预测美国COVID-19疫情感染人数完整导出数据以及绘图代码在predict.m文件 optimize.m 为 fmincon优化的目标函数 SEIR.m为SEIR模型函数运行后获取predict data.csv文件、relative error.csv文件以及比较图

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