Leetcode 410.分割数组的最大值（最优解是二分法）

Time: 20190904
Type: Hard, DP

题目描述

给定一个非负整数数组和一个整数 m，你需要将这个数组分成 m 个非空的连续子数组。设计一个算法使得这 m 个子数组各自和的最大值最小。

注意:
数组长度 n 满足以下条件:

1 ≤ n ≤ 1000
1 ≤ m ≤ min(50, n)
示例:

输入:
nums = [7,2,5,10,8]
m = 2

输出:
18

解释:
一共有四种方法将nums分割为2个子数组。
其中最好的方式是将其分为[7,2,5] 和 [10,8]，
因为此时这两个子数组各自的和的最大值为18，在所有情况中最小。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/split-array-largest-sum
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思路

关于DP类问题，个人感觉需要先在纸上推导明白状态定义，递推公式，能手工推导一部分解，然后有了大概的概念就可以转换为代码了。

这是一类最大最小问题。

简单说就是将数组划分为多组，每组会求一个和，多组的和最大值的可能性很多，求多组和的最小值的可能性。

状态定义：f[i][j]表示nums[0] ~ nums[j]共j+1个元素划分为i组的和的最大最小值。
可初始化的状态：f[1][j]表示nums[0]~nums[j]划分为1组的分组和的最大最小值，显然f[1][j] = sum(0, j)，包含边界。
状态迁移方程：f[i][j] = min(max(f[i-1][k], sum(k+1, j))), 0<= k < j

这种问题的状态迁移方程很具有代表性，即在右边划一段出来，先把问题规模-1，然后剩下的只需要再切分为i-1组即可。

其中k是这缩小问题规模的切分点。

代码

class Solution:def splitArray(self, nums: List[int], m: int) -> int:presum = [0 for i in range(len(nums))]presum[0] = nums[0]for i in range(1, len(nums)):presum[i] =  presum[i-1]  + nums[i]    # presum[j] - presum[i] = [i+1, j]# f[i][j]表示从nums[0]~nums[j]分成i组的解f = [[float('inf')] * len(nums) for i in range(m+1)]# f[1][j] = sum(0, j), 包含边界，表示只划分一段时的解for j in range(len(nums)):f[1][j] = presum[j]for i in range(2, m + 1):for j in range(i - 1, len(nums)):for k in range(0, j):f[i][j] = min(f[i][j], max(f[i-1][k], presum[j] - presum[k]))return f[m][len(nums)-1]

但是这道题用Python会超时，用C++不会超时。

class Solution {
public:int splitArray(vector<int>& nums, int m) {int n = nums.size();vector<vector<long>> f(n + 1, vector<long>(m + 1, INT_MAX));vector<long> sub(n + 1, 0);for (int i = 0; i < n; i++) {sub[i + 1] = sub[i] + nums[i];}f[0][0] = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= m; j++) {for (int k = 0; k < i; k++) {f[i][j] = min(f[i][j], max(f[k][j - 1], sub[i] - sub[k]));}}}return f[n][m];}
};

时空复杂度

时间复杂度：O(mn2)O(mn^2)O(mn2)
空间复杂度：O(mn)O(mn)O(mn)

本题最优解是二分法，时间复杂度要比这个要优秀得多。

下面就来看二分法是什么思路以及如何写出对应的代码。

二分法的思路

本题二分法的思路很有意思，首先我们想子数组的最大和一定比所有元素的最大值要大或者相等，要比整个数组的和要小。

有了上下界，我们就可以用二分的方式在其中遍历。遍历的过程是，我们从上下界的中间出发，定一个最大和的值mid，然后对数组进行划分，从左往右，加和恰好大于mid时，表示当前这个num不能再往本组加了，一加就超过了，所以一组划分好了，我们用temp跟踪当前的数组和，既然这个num不属于当前一组，一定是下一组，于是temp = num。在temp没大于mid前，只管累加即可。

统计出当前mid下可以划分多少组后，就可以和m比较，如果划分的组数大于m，表示mid值太小了，将下边界left值变大，否则划分的组数没到m，表示mid大了，将上边界right下移。

二分的骨架是一样的，重点是这个思路以及在mid的统治下统计有多少组。

理解了这个二分，代码将变得非常简单自然。


class Solution:def splitArray(self, nums: List[int], m: int) -> int:def countGroups(mid):temp = 0count = 1for num in nums:temp += numif temp > mid:count += 1temp = num # 准备下一组return countleft, right = max(nums), sum(nums)while left < right:mid = left + (right - left) // 2num_group = countGroups(mid)if num_group > m: # 划分多了，mid太小了left = mid + 1else:right = midprint(left, mid, right)return left # left恰好是满足条件的最少分割，自然就最大

注意count从1开始计数，因为无论如何都有一组。

END.