数论入门基础（同余定理/费马小定理/扩展欧几里德算法/中国剩余定理）
本文整理了同余定理/费马小定理/扩展欧几里德算法/中国剩余定理基本的念描述、结论证明和模板应用
同余定理
1.描述：
同余定理是数论中的重要概念。给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足（a-b）能够被m整除，即（a-b）/m得到一个整数，那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)。
2.符号：
两个整数a、b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a与b对模m同余或a同余于b模m。记作a≡b(mod m)
3.定义：
设m是大于1的正整数，a、b是整数，如果两个整数同时除以一个整数得到的余数相同，即m|(a-b)，则称a与b关于模m同余，记作a≡b(mod m)。显然有如下事实：
- 若a≡0(mod m)，则m|a;
- a≡b(mod m)等价于a与b分别用m去除，余数相同。
4.证明 :
(1) 充分性：
若a和b用m相除留下相同的余数r，则 a=q1m+r, b=q2m+r,q1和q2为某两个整数，由此的a-b=(q1m+r)-(q2m+r)=m(q1-q2)，根据整除定义，我们有m|(a-b)，由同余式定义得出结论：a≡b(mod m)。
(2) 必要性：
若a和b用m相除留下相同的余数r，则 a=q1m+r,b=q2m+r,所以a-b=m(q1-q2) 故 m|(a-b)。
5.性质：
反身性：a≡a (mod m)
对称性： 若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)
传递性： 若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)
同余式相加：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a + c≡b + d(mod m)
同余式相乘：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则ac≡bd(mod m)
线性运算：如果a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么a ± c≡b ± d(mod m)，且
a * c≡b * d(mod m)除法：若ac ≡ bc (mod m) c≠0 则 a≡ b (mod m/gcd(c,m)) 其中gcd(c,m)表示c,m的最大公约数。特殊地 ,gcd(c,m)=1 则a ≡ b (mod m)
幂运算：如果a ≡ b (mod m)，那么a^n ≡ b^n (mod m)
若a ≡ b (mod m)，n|m,则 a ≡ b (mod n)
若a ≡ b (mod mi) (i=1,2…n) 则 a ≡ b (mod [m1,m2,…mn]) 其中[m1,m2,…mn]表示m1,m2,…mn的最小公倍数
6.应用：
(1)高精度对单精度取模
一个高精度数对一个数取余，可以把高精度数看成各位数的权值与个位数乘积的和。如1234 = ((1 * 10 + 2) * 10 + 3) * 10 + 4，对这个数进行取余运算就是上面基本加和乘的应用。
#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;int main(){string a;int b;cin >> a >> b;int len = a.length();int ans = 0;for(int i = 0; i < len; i++){ans = (ans * 10 + a[i] - '0') % b;}cout << ans << endl;return 0;
}
(2)快速幂取模
将幂拆解为多个底数的平方次的积，如果指数为偶数，把指数除以2，并让底数的平方次取余，如果指数为奇数，就把多出来的底数记录下来，再执行偶数次的操作。
#include<iostream>
using namespace std;int PowerMod(int a, int b, int c){int ans = 1;a = a % c;//防止a比c的情况while(b > 0){if(b&1){ans *= (a % c);//如果b的二进制位不是0，那么我们的结果是要参与运算的}b >>= 1; //二进制的移位操作，相当于每次除以2，用二进制看，就是我们不断的遍历b的二进制位a = (a * a) % c; //不断的加倍}ans %= c;return ans;
}int main()
{int a, b, c;cin >> a >> b >> c;cout << PowerMod(a, b, c) << endl;return 0;
}
二.费马小定理
1.费马小定理：
假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a(p-1)≡1（mod p）。即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。
2.同余证法：
任意取一个质数，比如13。考虑从1到12的一系列整数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，给这些数都乘上一个与13互质的数，比如3，得到3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36。对于模13来说，这些数同余于3,6,9,12,2,5,8,11,1,4,7,10。这些余数实际上就是原来的1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，只是顺序不同而已。
把1,2,3,…,12统统乘起来，乘积就是12的阶乘12！。把3,6,9,…,36也统统乘起来，并且提出公因子3，乘积就是312×12！。对于模13来说，这两个乘积都同余于1,2,3,…,12系列，尽管顺序不是一一对应，即312×12！≡12！mod 13。两边同时除以12！得312≡1 mod 13。如果用p代替13，用x代替3，就得到费马小定理xp－1≡1 mod p。
以zoj3785为例：
It's Saturday today, what day is it after 1^1 + 2^2 + 3^3 + ... + N^N days? (1 <= N <= 1000000000).
对于
1^1 2^2 3^3 4^4 5^5 6^6 7^7
8^8 9^9 10^10 11^11 12^12 13^13 14^14
15^15 16^16 17^17 18^18 19^19 20^20 21^21
22^22 23^23 24^24 25^25 26^26 27^27 28^28
29^29 30^30 31^31 32^32 33^33 34^34 35^35
36^36 37^37 38^38 39^39 40^40 41^41 42^42
43^43 44^44 45^45 46^46 47^47 48^48 49^49
都对7取模后
1^1 2^2 3^3 4^4 5^5 6^6 0^71^8 2^9 3^10 4^11 5^12 6^13 0^141^15 2^16 3^17 4^18 5^19 6^20 0^211^22 2^23 3^24 4^25 5^26 6^27 0^281^29 2^30 3^31 4^32 5^33 6^34 0^351^36 2^37 3^38 4^39 5^40 6^41 0^421^43 2^44 3^45 4^46 5^47 6^48 0^49根据费马小定理x6≡1（mod 7）可得
1^1 2^2 3^3 4^4 5^5 6^6 0
1^2 2^3 3^4 4^5 5^6 6^1 0
1^3 2^4 3^5 4^6 5^1 6^2 0
1^4 2^5 3^6 4^1 5^2 6^3 0
1^5 2^6 3^1 4^2 5^3 6^4 0
1^6 2^1 3^2 4^3 5^4 6^5 0
1^1 2^2 3^3 4^4 5^5 6^6 0
每六行一个循环，循环节长度为42
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<queue>
#include<vector>
#include<math.h>
#include<stack>
using namespace std;
const int MAX = 1000+10;
const double eps = 1e-10;
const double PI = acos(-1.0);
long long n;
int t;
int s[50];
int main()
{for(int i=1; i<=44; i++){int flag=i%7;int ans=1;for(int j=1; j<=i; j++)ans=(ans*flag)%7;s[i]=ans;}for(int i=1; i<=44; i++)s[i]+=s[i-1];scanf("%d", &t);long long ans;while(t--){scanf("%lld", &n);ans=(n/42%7*(s[42]%7)%7+s[n%42]%7)%7;ans = (ans+6)%7;if(ans==1)printf("Monday\n");else if(ans==2)printf("Tuesday\n");else if(ans==3)printf("Wednesday\n");else if(ans==4)printf("Thursday\n");else if(ans==5)printf("Friday\n");else if(ans==6)printf("Saturday\n");else printf("Sunday\n");}return 0;
}
三.欧几里德算法 and 扩展欧几里德算法(gcd and exgcd)
(一) 欧几里德算法 (gcd)
1.描述：
欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。
2.基本算法：
设a=qb+r，其中a，b，q，r都是整数，则gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。
3.证明：
方法一：
a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数，则有
d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数
假设d 是(b,a mod b)的公约数，则
d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证
方法二：
要证欧几里德算法成立，即证: gcd(a,b)=gcd(b,r),其中 gcd是取最大公约数的意思，r=a mod b
下面证 gcd（a，b）=gcd（b，r）
设c是a，b的最大公约数，即c=gcd（a，b），则有 a=mc，b=nc，其中m，n为正整数，且m，n互为质数
由 r= a mod b可知，r= a- qb 其中，q是正整数，
则 r=a-qb=mc-qnc=（m-qn）c
b=nc,r=(m-qn)c，且n，（m-qn）互质（假设n，m-qn不互质，则n=xd, m-qn=yd 其中x,y,d都是正整数，且d>1
则a=mc=(qx+y)dc, b=xdc,这时a,b 的最大公约数变成dc，与前提矛盾，所以n ，m-qn一定互质）
则gcd（b,r）=c=gcd（a,b）
得证。
4.算法的实现：
(1)递归算法，代码：
int gcd(int a,int b)
{if(b==0)return a;return gcd(b,a%b);
}
(2)优化如下：
int gcd(int a,int b)
{return b ? gcd(b,a%b) : a;
}
(3)用迭代形式：
int gcd(int a, int b)
{while(b != 0){int r = b;b = a % b;a = r;}return a;
}
1.基本算法：
对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。
2.证明：
设 a>b。
(1) 当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；
(2) ab!=0 时
设 ax1+by1=gcd(a,b);
bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.
上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。
3.算法的实现：
(1)递归代码：
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{if(b==0){x=1;y=0;return a;}int r=exgcd(b,a%b,x,y);int t=x;x=y;y=t-a/b*y;return r;
}
(2)非递归代码：
int exgcd(int m,int n,int &x,int &y)
{int x1,y1,x0,y0;x0=1; y0=0;x1=0; y1=1;x=0; y=1;int r=m%n;int q=(m-r)/n;while(r){x=x0-q*x1; y=y0-q*y1;x0=x1; y0=y1;x1=x; y1=y;m=n; n=r; r=m%n;q=(m-r)/n;}return n;
}
4.应用:
（1) 解决不定方程：
对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。
上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一组解p0,q0后，p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整数解满足：
p = p0 + b/Gcd(p, q) * t
q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t为任意整数)
至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。
在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后，应该是得到p * a+q * b = c的一组解p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b))，
p * a+q * b = c的其他整数解满足：
p = p1 + b/Gcd(a, b) * t
q = q1 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)
p 、q就是p * a+q * b = c的所有整数解。
相关证明可参考：http://www.cnblogs.com/void/archive/2011/04/18/2020357.html
如，解不定方程ax+by=c代码：
bool linear_equation(int a,int b,int c,int &x,int &y)
{int d=exgcd(a,b,x,y);if(c%d)return false;int k=c/d;x*=k; y*=k; //求得的只是其中一组解return true;
}
(2)求解模线性方程：
同余方程 ax≡b (mod n)对于未知数 x 有解，当且仅当 gcd(a,n) | b。且方程有解时，方程有 gcd(a,n) 个解。
求解方程 ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ ny= b, (x, y为整数)
设 d= gcd(a,n)，假如整数 x 和 y，满足 d= ax+ ny(用扩展欧几里德得出)。如果 d| b，则方程
a* x0+ n* y0= d， 方程两边乘以 b/ d，(因为 d|b，所以能够整除)，得到 a* x0* b/ d+ n* y0* b/ d= b。
所以 x= x0* b/ d，y= y0* b/ d 为 ax+ ny= b 的一个解，所以 x= x0* b/ d 为 ax= b (mod n ) 的解。
ax≡b (mod n)的一个解为 x0= x* (b/ d ) mod n，且方程的 d 个解分别为 xi= (x0+ i* (n/ d ))mod n {i= 0... d-1}。
设ans=x*(b/d),s=n/d;
方程ax≡b (mod n)的最小整数解为：(ans%s+s)%s;
相关证明：
证明方程有一解是: x0 = x'(b/d) mod n;
由 a*x0 = a*x'(b/d) (mod n)
a*x0 = d (b/d) (mod n) (由于 ax' = d (mod n))
= b (mod n)
证明方程有d个解: xi = x0 + i*(n/d) (mod n);
由 a*xi (mod n) = a * (x0 + i*(n/d)) (mod n)
= (a*x0+a*i*(n/d)) (mod n)
= a * x0 (mod n) (由于 d | a)
= b
首先看一个简单的例子：
5x=4(mod3)
解得x = 2,5,8,11,14.......
由此可以发现一个规律，就是解的间隔是3.
那么这个解的间隔是怎么决定的呢？
如果可以设法找到第一个解，并且求出解之间的间隔，那么就可以求出模的线性方程的解集了.
我们设解之间的间隔为dx.
那么有
a*x = b(mod n);
a*(x+dx) = b(mod n);
两式相减，得到:
a*dx(mod n)= 0;
也就是说a*dx就是a的倍数，同时也是n的倍数，即a*dx是a 和 n的公倍数.为了求出dx,我们应该求出a 和 n的最小公倍数,此时对应的dx是最小的.
设a 和 n的最大公约数为d,那么a 和 n 的最小公倍数为(a*n)/d.
即a*dx = a*n/d;
所以dx = n/d.
因此解之间的间隔就求出来了.
代码如下：
bool modular_linear_equation(int a,int b,int n)
{int x,y,x0,i;int d=exgcd(a,n,x,y);if(b%d)return false;x0=x*(b/d)%n; //特解for(i=1;i<d;i++)printf("%d\n",(x0+i*(n/d))%n);return true;
}
(3)求模的逆元:
同余方程ax≡b (mod n)，如果 gcd(a,n)== 1，则方程只有唯一解。
在这种情况下，如果 b== 1，同余方程就是 ax=1 (mod n ),gcd(a,n)= 1。
这时称求出的 x 为 a 的对模 n 乘法的逆元。
对于同余方程 ax= 1(mod n )， gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程
ax+ ny= 1，x, y 为整数。这个可用扩展欧几里德算法求出，原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的 x 。
四.中国剩余定理 ( 孙子定理 / CRT )
1.描述：
设正整数
两两互素，则同余方程组
有整数解。并且在模下的解是唯一的，解为
其中，而为模的逆元。
2.代码实现：
(1)互质：
//求M%A=a,M%B=b,...中的M，其中A,B,C...互质
int CRT(int a[],int m[],int n){ int M = 1; int ans = 0; for(int i=1; i<=n; i++) M *= m[i]; for(int i=1; i<=n; i++){ int x, y; int Mi = M / m[i]; ex_gcd(Mi, m[i], x, y); ans = (ans + Mi * x * a[i]) % M; } if(ans < 0) ans += M; return ans;
}
(2)非互质：
一般的中国剩余定理要求mi两两互质，但是保证互质条件太苛刻了，若mi并不满足两两互质时，就要采用两两合并的思想，假设要合并如下两个方程
x=a1+m1*x1
x=a2+m2*x2
得到
a1+m1*x1 = a2+m2*x2 → m1*x1+m2*x2 = a2-a1
再通过扩展欧几里得算法解出x1的最小正整数解，代入
x=a1+m1*x1
得到x后合并为一个方程的结果为
y ≡ x(mod lcm(m1,m2))
这样一直合并下去，最终可以求得同余方程组的解。
代码：
bool merge(LL a1, LL m1, LL a2, LL m2, LL &a3, LL &m3) { LL d = gcd(m1, m2); LL c = a2 - a1; if(c % d) return false; c = (c % m2 + m2) % m2; m1 /= d; m2 /= d; c /= d; c *= Inv(m1, m2);//Inv为乘法逆元，数论常用内容——欧几里得算法与扩展欧几里得算法c %= m2; c *= m1 * d; c += a1; m3 = m1 * m2 * d; a3 = (c % m3 + m3) % m3; return true;
} LL CRT(LL a[], LL m[], int n) { LL a1 = a[1]; LL m1 = m[1]; for(int i=2; i<=n; i++) { LL a2 = a[i]; LL m2 = m[i]; LL m3, a3; if(!merge(a1, m1, a2, m2, a3, m3)) return -1; a1 = a3; m1 = m3; } return (a1 % m1 + m1) % m1;
}
3.例题：
(1) POJ 1006
题意：
人自出生起就有体力，情感和智力三个生理周期，分别为23，28和33天。一个周期内有一天为峰值，在这一天，人在对应的方面（体力，情感或智力）表现最好。通常这三个周期的峰值不会是同一天。现在给出三个日期，分别对应于体力，情感，智力出现峰值的日期。然后再给出一个起始日期，要求从这一天开始，算出最少再过多少天后三个峰值同时出现。
代码：
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>using namespace std;int a[4], m[4];void extend_Euclid(int a, int b, int &x, int &y)
{if(b == 0){x = 1;y = 0;return;}extend_Euclid(b, a % b, x, y);int tmp = x;x = y;y = tmp - (a / b) * y;
}int CRT(int a[],int m[],int n)
{int M = 1;int ans = 0;for(int i=1; i<=n; i++)M *= m[i];for(int i=1; i<=n; i++){int x, y;int Mi = M / m[i];extend_Euclid(Mi, m[i], x, y);ans = (ans + Mi * x * a[i]) % M;}if(ans < 0) ans += M;return ans;
}int main()
{int p, e, i, d, t = 1;while(cin>>p>>e>>i>>d){if(p == -1 && e == -1 && i == -1 && d == -1)break;a[1] = p;a[2] = e;a[3] = i;m[1] = 23;m[2] = 28;m[3] = 33;int ans = CRT(a, m, 3);if(ans <= d)ans += 21252;cout<<"Case "<<t++<<": the next triple peak occurs in "<<ans - d<<" days."<<endl;}return 0;
}
参考资料：
https://blog.csdn.net/zcy_2016/article/details/55054146
https://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8050018
https://blog.csdn.net/tick_tock97/article/details/71313058
https://blog.csdn.net/qq_36345036/article/details/77407069
https://blog.csdn.net/QQ1353217816/article/details/79706975
http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html
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同余定理 同余定理是数论中的重要概念.给定一个正整数m,如果两个整数a和b满足(a-b)能够被m整除,即(a-b)/m得到一个整数,那么就称整数a与b对模m同余,记作a≡b(mod m). 两个整数a ...
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一.准备工作 点击查看数论基础知识 二.威尔逊定理 威尔逊定理给出了判定一个自然数是否为素数的充分必要条件.但是由于阶乘是呈爆炸增长的,其结论对于实际操作意义不大. 1. 定理及其变形 当且仅当p为素 ...
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