引言

对于大量的输入数据，链表的线性访问时间太慢，不宜使用。本篇讨论一种简单的数据结构——树，它大部分操作的运行时间平均为O(logN)O(logN)O(logN)。数据结构中有很多树的结构，其中包括二叉树、二叉搜索树、2-3树、红黑树等等。

树和森林的区别

基本概念

树(tree) 是一些节点的集合。

该集合可以是空集，若不是空集，则树由称为根(root) r 的节点以及0个或多个非空的子树组成。

每颗子树的根就做根r的儿子(child)，而r是每颗子树的根的父亲。

上图中，A是根，节点F有一个父亲A并且有儿子K、L和M。每个节点可以有零个或任意个儿子。没有儿子的节点称为叶子节点(leaf)。

上图中的B、C、H等是叶子节点。

具有相同父亲的节点称为兄弟(siblings)，因此B、C、D、E、F、G都是兄弟。这种定义和家谱很像，类似地，我们可以得到祖父和孙子的定义。J是A的孙子，A是I的祖父。

从节点n1n_1n1到nkn_knk的**路径(path)**定义为节点n1,n2,...,nkn_1,n_2,...,n_kn1,n2,...,nk的一个序列。

这条路径的 长(length) 是为该路径上的边的条数，即k−1k-1k−1。

从每一个节点到它自己有一条长为0的路径。注意，在一颗树中从根到每个节点恰好存在一条路径。

对任意节点nin_ini的 深度(depth) 为从根到nin_ini的唯一的路径的长。因此，根的深度为0。

nin_ini的 高(height) 是从nin_ini到叶子节点的最长路径的长。因此所有的叶子节点(树叶)高都是0.
一棵树的高等于它的根的高。

对于上文中那颗树，E的深度为1(A-E)而高为2(E-J-Q)。该树的高为3。一棵树的深度等于它的最深的树叶的深度；该深度总是等于这棵树的高。

树这种数据结构有广泛的应用，比如操作系统中用到了红黑树，数据库用到了B+树，编译器用到了语法树。下面用Java来实现各种常见的树。

二叉树

二叉树(binary tree) 是一颗每个节点都不能多于两个孩子(儿子)的树。通常叫它的儿子为左孩子和右孩子（或左子树和右子树）。

二叉树的性质 ：

在非空二叉树中，第i层的节点总数不超过2i−12^{i-1}2i−1,i>=1
深度为h的二叉树最多有2h−12^h - 12h−1个节点
对于任何一颗二叉树，如果其叶子节点数位n0n_0n0，度为2(同时有两个孩子节点)的节点数为n2n_2n2，则n0=n2+1n_0 = n_2 + 1n0=n2+1
具有n个节点的完全二叉树的深度为log(n+1)log(n+1)log(n+1)
给定n个节点，能构成h(n)种不同的二叉树，其中h(n)为卡特兰数的第n项，h(n)=C(2n,n)n+1h(n) = \frac{C(2n, n)}{n+1}h(n)=n+1C(2n,n)

满二叉树：除最后一层无任何子节点外，每一层上的所有节点都有两个子节点。

满二叉树的性质：

一颗树深度为h，最大层数为k，深度与最大层数相同，k=h
叶子数为2h2^h2h
第k层的节点数是：2k−12^{k-1}2k−1
总节点数是：2k−12^k-12k−1，且总节点数一定是奇数

完全二叉树：若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～(h-1)层) 的节点数都达到最大个数，第h层所有的节点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。

我们定义通用二叉树接口：

public interface BinaryTree<E> {void insert(E x);void remove(E x);boolean contains(E x);boolean isEmpty();void makeEmpty();void printTree();
}

二叉查找树

见图解二叉查找树

实现好了二叉查找树后，我们利用它来学习二叉树的遍历

二叉查找树的查询效率很依赖于树的深度。

若生成的二叉查找树像这样，其实它就退化为链表。下面介绍一种能自动平衡左右节点的二叉查找树。

AVL树

AVL树通常被称为平衡二叉(搜索)树。

见图解AVL树

AVL树虽然能够自动平衡，但是它有如下显著的缺点：

插入/删除后的旋转，成本不低
删除操作，最坏情况下需要Ω(logN)\Omega(logN)Ω(logN)次旋转

伸展树

伸展树是基于AVL树的，但它并没有AVL的平衡要求，任意节点的左右子树可以相差任意深度。与二叉搜索树类似，伸展树的单次搜索也可能需要n次操作。但伸展树可以保证，m次的连续搜索操作的复杂度为mlog(n)的量级，而不是mn量级。

实现见图解伸展树

B树系列

B-树

B树也称B-树,它是一颗平衡的多路搜索树。我们描述一颗B树时需要指定它的阶数，阶数表示一个节点最多有多少个孩子节点，一般用字母m表示阶数。当m取2时，就是我们常见的二叉搜索树。

有时也称M路B树，即有M个分支的B树

多级存储系统中使用B-树，可针对外部查找，大大减少I/O次数。

可以看到，B树是一颗矮胖的平衡多叉树。
详细图解与Java代码实现见图解B-树

红黑树

敬请期待

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