数据结构——树状数组
我们今天来讲一个应用比较广泛的数据结构——树状数组
它可以在O(nlogn)的复杂度下进行单点修改区间查询,下面我会分成三个模块对树状数组进行详细的解说,分别是树状数组基本操作、树状数组区间修改单点查询的实现、树状数组查询最值的实现
一.
树状数组一般分为三种操作,初始化、修改、查询
在讲基本操作之前,我们先来看一张图
这张图就是树状数组的存储方式,对于没有接触过树状数组的人来说看懂上面这张图可能有些困难,上图的A数组就是我们的原数组,C数组则是我们需要维护的数组,这样存储能干什么呢,比如我们在查询A[1~7]数组的前缀和时,可以将C[4]、C[6]、C[7]三个数组的值加起来,那么它就是我们要求的A[1~7]的前缀和,那么为什么是C[4]、C[6]、C[7]三个数组呢
我们来看一下4、6、7在二进制下是什么
7 = 22 + 21 + 20 = (111)2
6 = 22 + 21 = (110)2
4 = 22 = (100)2
于是我们发现,从7到4,我们的二进制的1从最后一位开始减少,再根据上图,我们可以发现,C[i]数组存储区间为[ i - 2k + 1,i],其中k是二进制下i末尾的0的个数
这里我们用lowbit(x)表示x在二进制下C[ i ]的存储长度,lowbit的求法如下:
inline int lowbit(int x) {return x&(-x); }
关于它的原理,如下:
二进制下的负数是将原来的整数取反后加1表示的,就像这样:
原数字 x:(100101000)2
取反 ~x:(011010111)2
负数 ~x+1:(011011000)2
我们发现,这样操作后,末尾1前面的数都被取反了,而后面的数全部变成了0,于是
x & (-x) = (000001000)2
这样,我们就将C[ i ]每次的存储长度求出来了
下面我们讲树状数组的基本操作
inline void add(int x,int y) //给x加上y {while(x <= n){c[x] += y;x += lowbit(x);}return ; }inline int query(int x) //查询1~7的前缀和 {int ans = 0;while(x){ans += c[x];x -= lowbit(x);}return ans; }
当我们求区间l ~ r的区间和时,可以用C[r] - C[l - 1]
如果你还是不太懂,就结合着上面的图和代码,感性理解一下
二.
下面我们讲树状数组如何做到区间修改(单点查询过于简单我就不提了)
我们可以发现,当我们让区间l ~ r加上v时,实际上相当于我们先将区间l ~ n加上v,再将区间r + 1 ~ n减去v
所以,第一种方法,我们可以再维护一个树状数组B用来存区间修改的情况,当我们查询某一点i时,用B[1~i]的前缀和加上我们原来维护的数组,就可以做到区间修改单点查询了
不过,在这里我们有一种巧妙的方法可以不用维护两个树状数组,我们可以维护一个差分数组C,让A[i] - A[i - 1]加入数组C,这样我们在修改区间l ~ r时,只要让l加上v,再让r + 1减去v就行了,证明非常简单,因为l ~ r中的数同时加上了一个数,A[i] - A[i - 1]不变
这样我们就用一个树状数组进行了区间修改单点查询操作,在查询一个数x时,A[x]就是C[1~x]的前缀和
有一道洛谷的板子题可供练习
洛谷 P3368
代码如下:
#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm>const int maxn = 1e6 + 6; int n,m; int cost[maxn];inline int read() {char ch = getchar();int x = 0,f = 1;while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x = x*10 + ch -'0'; ch = getchar();}return x*f; }inline int lb(int x) {return x&(-x); }inline void add(int a,int v) {while(a<=n){cost[a] += v;a += lb(a);} }inline int query(int a) {int ans = 0;while(a){ans += cost[a];a -= lb(a);}return ans; }int main(int argc, char const *argv[]) {n = read();m = read();int pre = 0;for(int i = 1;i <= n;i ++){int val = read();add(i,val - pre);pre = val;}for(int i = 1;i <= m;i ++){int flag,x,y,k;flag = read();if(flag == 1){x = read();y = read();k = read();add(x,k);add(y+1,-k);}else{x = read();printf("%d\n",query(x));}}return 0; }
三.
下面我们来讲树状数组查询区间最值,虽然它的复杂度为O(nlognlogn),但是依然是我们可以接受的
我们来考虑如何维护最值,一个显然的方法我们对于每个元素都让它自身的值和覆盖它的C数组取最值,复杂度为O(nlogn),然后当我们要改变一个数的值的时候,将C数组清空然后重新维护,显然这个复杂度并不理想
我们接着考虑有没有更快的维护方法,于是我们发现,对于一个区间C[x],能转移到它的只有C[x - 20]、C[x - 21]、C[x - 22]...C[x - 2 k],且2k < lowbit(x),2k+1 >= lowbit(x)
这样,我们就维护出区间C[x]的最值了,且维护的复杂度为O(lognlogn)
代码如下:
inline void modify(int x,int y) //把x的值改为y {a[x] = y;while(x <= n){c[x] = a[x];for(int i = 1;i < lowbit(x);i <<= 1) c[x] = std::max(c[x],c[x - i]);x += lowbit(x);}return ; }
查询的方法也非常简单,我们从查询的右端点开始找被包含的C数组,若r - lowbit(r) >= l,就用C[r]维护最值,否则,我们就直接用A[r]维护最值
代码如下:
inline int query(int l,int y) //查询区间l ~ r的最大值 {int ans = 0;while(l <= r){ans = std::max(ans,a[r]);r--;while(l <= r - lowbit(r)){ans = std::max(ans,c[r]);r -= lowbit(r);}}return ans; }
这里有一道例题
HDU 1754
就是一个树状数组维护最值的板子题,代码如下:
#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #include <iostream>const int maxn = 2e5+5; int n,m; int a[maxn]; int cost[maxn];inline int lb(int x) {return x&(-x); }inline void modify(int x) {while(x<=n){cost[x] = a[x];for(int i = 1;i < lb(x);i<<=1) cost[x] = std::max(cost[x],cost[x-i]);x += lb(x);} }inline int query(int l,int r) {int ans = 0;while(l <= r){ans = std::max(ans,a[r]);r --;while(l <= r-lb(r)) {ans = std::max(ans,cost[r]);r -= lb(r);}}return ans; }int main() {while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF){memset(a,0,sizeof(a));memset(cost,0,sizeof(cost));for(int i = 1;i <= n;i ++){scanf("%d",&a[i]);modify(i);}for(int i = 1;i <= m;i ++){char flag = getchar();while(flag!='Q'&&flag!='U')flag = getchar();if(flag=='Q'){int l,r;scanf("%d %d",&l,&r);printf("%d\n",query(l,r));}else if(flag=='U'){int x,v;scanf("%d %d",&x,&v);a[x] = v;modify(x);}}}return 0; }
转载于:https://www.cnblogs.com/Ackers/p/10090713.html
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