一、三对角矩阵

1.三对角矩阵概念

2.三对角矩阵元素数量

对于给定n阶方阵M，若其为三对角矩阵，则元素个数N为：

若n=1，此时方阵只有一个元素M[0][0]，由定义知该元素也在三对角线上。故N=1。
若n>1，由三对角矩阵特点知，矩阵的第一行和最后一行（第n行）分别有两个非零元素，其余行每行各有三个非零元素。故N = 3*(n-2)+2*2 = 3n-2。

综上，
N = { 1 , n=1 3 n − 2 , n>1 N=\left\{ \begin{aligned} & 1 ,&\text{n=1}\\ & 3n-2, &\text{n>1}\\ \end{aligned} \right. N={1,3n−2,n=1n>1

3.三对角矩阵下标变换推导（行优先和列优先）

对于给定n阶三对角方阵M和存放该方阵的数组A，非零元素M_ij（1≤i,j≤n，|i-j|≤1）同数组元素A[k]（0≤k<N）存在一一对应的关系。下面分别推导从下标i,j到k和k到i,j的关系。

3.1行优先

从M_ij到A[k]：即已知i,j要找出对应的k，需要知道，在数组A中，元素M_ij之前存放的元素个数num，则M_ij存放在A的第num+1个位置，对应数组A的下标正好为num（假设数组下标从0开始）。

先考虑i>1的情况，即寻找第一行以下的非零元素M_ij：
- 第一行有2个非零元素；之后的2~i-1行，每行有三个非零元素。
- 第i行，在M_ij之前的非零元素有j-(i-1)个。

故k = num = 2+3*(i-1-1)+j-(i-1)=2i+j-3。

而当i=1时，有j=1或2。且A[0]=M_11，A[1]=M_12。代入发现也符合上述公式。

从A[k]到M_ij。

首先求出A[k]位于M的第几行：由于M的第一行有两个元素，2~i-1行有三个元素，由此可以得到i关于k的表达式：i = ⌊(k+1)/3+1⌋（下取整）。（i+1为第一行“补”一个元素，加一是因为i从1开始）。
然后可以根据上面得到的k与i,j的关系得到：j = k-2i+3 。

3.列优先

由于三对角矩阵具有良好的对称性，所以只需要对行优先推导得到的关系中i,j互换即可。
即：

k=2j+i-3，
j=⌊(k+1)/3+1⌋（下取整），i=k-2j+3。

二、C++实现三对角矩阵代码

//diagonalMatrix.hpp
#pragma once
#include "assert.h"
#include <iostream>
template <typename E>
// 检查下标越界
#define CHECK(i, j) \assert(i >= 1 && j >= 1 && i <= m_dimension && j <= m_dimension);// 检查是否是对角阵中的非零元素
#define IS_ZERO(i, j) abs(i - j) > 1// 根据行/列优先原则获取数组对应下标
#define GET_IDX(i, j) m_priority ? (2 * i + j - 3) : (2 * j + i - 3)class DiagonalMatrix
{private:int m_dimension; // 方阵阶数int m_capacity;  // 数组容量，即方阵中非零元素数量E *m_array;      // 存储方阵的数组bool m_priority; // 0: 行优先 1:列优先
public:DiagonalMatrix(int dimension, bool priority = false) : m_dimension(dimension), m_priority(priority){assert(dimension >= 1);if (dimension == 1)m_capacity = 1;elsem_capacity = 3 * dimension - 2; // capacity = (d - 2)*3 + 2*2 = 3d -2m_array = new E[m_capacity];}~DiagonalMatrix(){delete m_array;m_array = nullptr;}// 设置元素M_ijvoid set(const E &element, int i, int j){CHECK(i, j);if (IS_ZERO(i, j))return;m_array[GET_IDX(i, j)] = element;}// 获取元素M_ijE get(int i, int j){CHECK(i, j);if (IS_ZERO(i, j))return 0;return m_array[GET_IDX(i, j)];}// 获取数组元素A[k]对应方阵的下标i和jvoid getKIdx(int k, int &i, int &j){assert(k >= 0 && k < m_capacity);if (!m_priority){i = (k + 1) / 3 + 1;j = k - 2 * i + 3;}else{j = (k + 1) / 3 + 1;i = k - 2 * j + 3;}}// 打印方阵void printMatrix(){for (int i = 1; i <= m_dimension; i++){for (int j = 1; j <= m_dimension; j++)std::cout << get(i, j) << ' ';std::cout << '\n';}}int getCapacity(){return m_capacity;}int getDimension(){return m_dimension;}
};

使用：

#include "diagonalMatrix.hpp"
int main()
{using namespace std;DiagonalMatrix<int> d(6);int matrix[6][6] ={{1, 1, 0, 0, 0, 0},{1, 1, 1, 0, 0, 0},{0, 1, 1, 1, 0, 0},{0, 0, 1, 1, 1, 0},{0, 0, 0, 1, 1, 1},{0, 0, 0, 0, 1, 1}};// set valueint i, j, k;for (i = 0; i < 6; i++)for (j = 0; j < 6; j++)if (matrix[i][j] != 0)d.set(matrix[i][j], i + 1, j + 1);// get idx and valuefor (k = 0; k < d.getCapacity(); k++){d.getKIdx(k, i, j);printf("k = %d , i = %d, j = %d , matrix[%d][%d] = %d\n", k, i, j, i, j, d.get(i, j));}d.printMatrix();
}

结果：

k = 0 , i = 1, j = 1 , matrix[1][1] = 1
k = 1 , i = 1, j = 2 , matrix[1][2] = 1
k = 2 , i = 2, j = 1 , matrix[2][1] = 1
k = 3 , i = 2, j = 2 , matrix[2][2] = 1
k = 4 , i = 2, j = 3 , matrix[2][3] = 1
k = 5 , i = 3, j = 2 , matrix[3][2] = 1
k = 6 , i = 3, j = 3 , matrix[3][3] = 1
k = 7 , i = 3, j = 4 , matrix[3][4] = 1
k = 8 , i = 4, j = 3 , matrix[4][3] = 1
k = 9 , i = 4, j = 4 , matrix[4][4] = 1
k = 10 , i = 4, j = 5 , matrix[4][5] = 1
k = 11 , i = 5, j = 4 , matrix[5][4] = 1
k = 12 , i = 5, j = 5 , matrix[5][5] = 1
k = 13 , i = 5, j = 6 , matrix[5][6] = 1
k = 14 , i = 6, j = 5 , matrix[6][5] = 1
k = 15 , i = 6, j = 6 , matrix[6][6] = 1
1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0
0 1 1 1 0 0
0 0 1 1 1 0
0 0 0 1 1 1
0 0 0 0 1 1

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