第三十二篇 Lanczos转化到三对角形式

在之前的篇章里，有许多求解线性方程的迭代方法，如最陡下降法，可以通过向量乘法和各种简单的向量运算，简化为一个单个矩阵的循环。将矩阵化为三对角形式的Lanczos方法，保留其特征值的同时，使用类似的计算方式，实际上与共轭梯度法相关联。
在这种方法中，变换矩阵[P]是用相互正交的向量构造的。通常我们求对称矩阵的特征值由下式开始：

确保[P]T [P]=[I]的一种方法是构造互相正交的，单位长度的正交化向量，如{P}， {q}和{r}构造[P]。以3 × 3矩阵为例，可以得到

在Lanczos方法中，要求得到的[P]T [A][P]是一个对称的三对角矩阵

所以

因为[P]是由正交向量组成的

可以展开上面的式子

将上式的第一，第二和第三分别乘以{p}T， {q}T和{r}T，并注意向量的正交性，得到

构造“Lanczos向量”{p}、{q}和{r}，并求解三对角形式αi和βi，可以遵循以下算法:
1)开始猜一个单位长度的向量{p}(如[1 0 0]T)
2)通过方程2，计算α1 = {p}T [A]{p}
3)通过方程1，计算β1{q} = [A]{p}−α1{p}
4) {q}的长度是一个单位，因此通过正交化计算β1和{q}
5)由方程2，计算α2 = {q}T [A]{q}
6)有方程1计算β2 {r} =[A]{q}−α2{q}−β1{p}
7) {r}是单位长度，因此通过正交化计算β2和{r}
8)由式2计算α3 = {r}T [A]{r}等。
通常，对于一个n × n矩阵[A]，将[P]的正交向量列记为{y}j, j = 1,2，···，n，程序使用的算法如下(设β0 = 0)

程序如下：

#对称矩阵到三对角矩阵的Lanczos推导
import numpy as np
n=4
alpha=np.zeros((n))
beta=np.zeros((n))
v=np.zeros((n))
y0=np.zeros((n))
z=np.zeros((n))
y1=np.array([1.0,0.0,0.0,0.0])
a=np.array([[1,-3,-2,1],[-3,10,-3,6],[-2,-3,3,-2],[1,6,-2,1]],dtype=np.float)
print('对称矩阵到三对角矩阵的Lanczos推导')
print('系数矩阵A')
print(a[:])
print('开始猜测值')
print(y1)
y0[:]=0
beta[-1]=0
for j in range(1,n+1):v[:]=np.dot(a,y1)alpha[j-1]=np.dot(y1,v)if j==n:breakz[:]=v[:]-alpha[j-1]*y1-beta[j-2]*y0y0[:]=y1[:]beta[j-1]=(np.dot(z,z))**0.5y1[:]=z[:]/beta[j-1]
print('转化后的主对角线')
for i in range(1,n+1):print('{:13.4e}'.format(alpha[i-1]),end='')
print()
print('转化后的非主对角线值')
for i in range(1,n):print('{:13.4e}'.format(beta[i-1]),end='')

终端输出结果

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