图形学笔记（七）着色 —— Blinn-Phone 反射模型、着色频率、渲染管线、GPU
图形学笔记（九）几何 ——几何表示方法（CSG、距离函数、水平集、点云、网格（obj格式））、贝塞尔曲线（面）

文章目录

1 纹理映射定义
2 纹理的坐标系 —— UV坐标
3 三角形的插值：重心坐标(Barycentric Coordinates)
- 3.1 插值的用处
- 3.2 重心坐标系
- 3.3 获得三角形任意一点的重心坐标
- 3.4 获得三角形的重心
- 3.5 使用重心坐标
4 将重心坐标的插值应用到纹理上
5 纹理的放大 Texture Magnification 相关问题
- 5.1 纹理太小了
- - 5.1.1 问题引出
  - 5.1.2 纹理太小的问题
  - 5.1.3 解决纹理太小问题的目标
  - 5.1.4 方法一 —— 双线性插值 Bilinear interpolation
  - 5.1.5 方法二 —— Bicubic 双向三次插值
- 5.2 纹理太大了
- - 5.2.1 纹理太大出现的问题 —— 摩尔纹和锯齿
  - 5.2.2 原因分析
  - 5.2.3 方法一 —— Mipmap
  - - 1 引出
    - 2 作用
    - 3 定义
    - 4 Mipmap的流程
    - 5 问题
    - 6 深度不连续的解决方法 —— 插值
6 几种插值方法
- 6.1 三线性插值 Trilinear Interpolation
- - 6.1.1 介绍
  - 6.1.2 三线性插值的的局限性
- 6.2 （部分）解决三线性插值问题：各向异性过滤（Anisotropic Filtering）
- 6.2.1 介绍
- 6.2.2 局限性
- 6.3 覆盖不规则的形状 —— EWA filtering
7 纹理的应用
- 7.1 纹理的理解
- 7.2 环境光照（贴图） Environment Map
- 7.3 纹理可以影响着色
- - 7.3.1 Bump Mapping 凹凸贴图
  - - 1> 凹凸贴图的作用
    - 2> 如何扰动法线（in flatland）
    - 3> 如何扰动法线（in 3D）
    - 4> TBN矩阵（[参考](http://www.opengl-tutorial.org/intermediate-tutorials/tutorial-13-normal-mapping/)）
    - - 如何定义切线空间？
  - 7.3.2 位移贴图
- 7.4 三维纹理
- 7.5 存储计算好的着色信息
- 7.6 三维纹理和体渲染（Volume Rendering）

1 纹理映射定义

纹理映射（Texture Mapping），又称纹理贴图，是将纹理空间中的纹理像素映射到屏幕空间中的像素的过程。简单来说，就是把一幅图像贴到三维物体的表面上来增强真实感。

任意三角形的顶点都能找到顶点在纹理上哪个位置。

2 纹理的坐标系 —— UV坐标

U和V的范围都在0到1内。三角形的三个顶点，每个顶点都对应一个UV。

纹理能被多次使用。如果纹理重复上下左右可以无缝衔接，则称这个纹理是tiled textures。（有一种算法叫Wang tiling）

3 三角形的插值：重心坐标(Barycentric Coordinates)

3.1 插值的用处

如果对三角形的三个顶点都有特定的值，那么通过重心坐标的方法可以得到三角形内任何一点的这个值，并且这些值从一个顶点到另一个顶点是平滑过渡的。

对什么进行插值？
纹理坐标，颜色，法线向量…

3.2 重心坐标系

重心坐标是定义在三角形上的。
在重心坐标系中，三角形平面的任何一个点(x,y)都可以表示成三角形三个顶点的线性组合（系数分别是αβγ\alpha \beta \gammaαβγ，且满足这三个系数相加和为1）。
如果这个点在三角形内，则需要αβγ\alpha \beta \gammaαβγ都是非负的。

eg：
A点的重心坐标(α,β,γ)=(1,0,0)(\alpha,\beta,\gamma)=(1,0,0)(α,β,γ)=(1,0,0)且(x,y)=αA+βB+γC=A(x,y)=\alpha A+\beta B+\gamma C=A(x,y)=αA+βB+γC=A

3.3 获得三角形任意一点的重心坐标

可以通过面积比求重心坐标。α,β,γ\alpha,\beta,\gammaα,β,γ的计算如下所示，其中A点对应AAA_AAA（表示A点的面积），B点对应BBB_BBB，C点对应CCC_CCC。

然后通过叉积求面积，得到重心坐标的一般的表达式。

3.4 获得三角形的重心

重心的性质：将重心与三个顶点相连，可以把三角形分割成等面积的三个三角形。下面是重心坐标系和普通坐标系下的三角形重心坐标。

3.5 使用重心坐标

使用重心坐标系通常有如下步骤：

先算出重心坐标的位置
再利用重心坐标做插值

如下图所示，V可以是任何属性，只要根据位置把αβγ\alpha \beta \gammaαβγ确定下来，就可以确定该位置对应某个属性的插值。

Tips：投影变换下，重心坐标是不能保持不变的。所以想要插值三维空间的属性，就要找三维的坐标，不能在投影后的三角形做（比如深度）。

4 将重心坐标的插值应用到纹理上

对于每一个光栅化的样本（x,y）的应用流程如下：

根据三角形顶点的纹理坐标使用重心坐标进行插值，获得该位置的(u,v)。
在纹理上查询这个（u，v）对应的颜色值
在该样本设置这个颜色

5 纹理的放大 Texture Magnification 相关问题

5.1 纹理太小了

5.1.1 问题引出

如果有4k分辨率，纹理只有515X512怎么办？

5.1.2 纹理太小的问题

对于任何一个点找到纹理上的位置，如果纹理上的这个位置不是整数，采用四舍五入的办法变成整数。这样的话在一定范围内查找的是相同的纹理上的像素（texel 称为纹理元素、纹素）。

很多pixel由于纹理太小了可能会映射到同一个texel上去（就像最左边的图，不是很连续，有马赛克格子）。

5.1.3 解决纹理太小问题的目标

通过改进，使得图片看上去像下面右边的两张图一样，虽然有点糊，但是没那么有割裂感。

5.1.4 方法一 —— 双线性插值 Bilinear interpolation

找到映射的中心的临近的四个点
找到中心点距离四个点距离左下的那个点的宽和高（s和t）。
定义一个线性插值的操作。
先获得两个辅助点的插值。
最后获得竖直的插值

这样的话，这个点就可以获得四个点的颜色信息，实现了平滑过渡。
因为做了两次插值，所以称为双线性插值。

5.1.5 方法二 —— Bicubic 双向三次插值

效果好于Bilinear，取的不是四个点，而是十六个点。做的是三次的插值，而不是线性的插值。

5.2 纹理太大了

5.2.1 纹理太大出现的问题 —— 摩尔纹和锯齿

可以发现如果纹理过大会出现如右图的情况，远处摩尔纹，近处锯齿。

5.2.2 原因分析

1> 从pixel与texel上的对应来看

屏幕上的像素从近到远，一个像素覆盖纹理上的区域是由少到多的。
但是对于很远的点，一个像素的颜色值以一个中心点来采样是相当不准确的。

解决办法：超采样（消耗太大，需改进）

2> 从采样来看纹理过大的影响
纹理太大时，一个像素包含很大一块纹理，采样的速度跟不上信号变化的速度。（所以可以通过增加采样频率来解决）

解决方法：避免采样，不采样就不会消耗那么大了，所以有办法能快速获得一片区域的平均值吗？

5.2.3 方法一 —— Mipmap

1 引出

超采样可以解决纹理过大的问题，但是它消耗过大，如果有一种算法可以立刻获得平均而不用进行太多计算就好了。
从近到远一个像素对应的采样区域大小是不同的，所以这个算法的范围查询应该可以查出任意不同范围的大小。

2 作用

允许进行不同大小的范围查询。（快速的正方形的近似范围查询fast、approx.、square）

3 定义

Mip意思是很多不同的小东西。
对于一张贴图，可以不断将分辨率缩小一半。

然后只需要找出每个像素在对应层对应位置的映射就可以了。

Tips：经过Mipmap，只多了三分之一的存储量。

4 Mipmap的流程

获得自己和邻居的中心位置
将这四个位置在纹理空间上进行映射
根据以下公示进行计算

其中，D是层数，只需要知道L就可以计算，代表这个像素应该在第D（log2Llog_2Llog2L）层Mipmap去寻找颜色。

根据D和映射后的UV坐标得到结果

5 问题

如下图是Mipmap可视化，可以发现有渐变，但是渐变不连续。

6 深度不连续的解决方法 —— 插值

进行插值（比如在1.8层，则可以对第1层和第二层进行插值）

6 几种插值方法

6.1 三线性插值 Trilinear Interpolation

6.1.1 介绍

三线性插值即两次查询，一次插值，找到D和D+1层的结果然后进行插值。

经过三线性插值后的Mipmap可视化

6.1.2 三线性插值的的局限性

出现了Overblur（远处模糊的过分了）

原因：只能对正方形进行近似，插值不是精确而是近似值。

6.2 （部分）解决三线性插值问题：各向异性过滤（Anisotropic Filtering）

6.2.1 介绍

Anisotropic Filtering相比于Mipmap多了不均匀的水平和竖直的压缩，如下图所示（下图又称Mipmap）

Tips：

各向异性的意思是不同方向上的表现各不相同
倍率不管开多大，存储量最多是3倍

使用各项异性，就可以查询到一个矩形的区域，而不用限制在一个正方形上。

6.2.2 局限性

虽然Anisotropic Filtering解决了矩形查询的问题，但是对于斜着的效果不好，仍然具有局限性。

6.3 覆盖不规则的形状 —— EWA filtering

对于不规则的形状可以拆成几个圆形去覆盖这个形状。每次查询一个圆形，然后多次查询来覆盖不规则的形状。

7 纹理的应用

7.1 纹理的理解

在现代的GPU中， texture = memory + range query

7.2 环境光照（贴图） Environment Map

如下茶壶会被环境光照亮，即它可以反射出任何方向来的光。如下图就反射出了窗户和门。
假设，环境光只记录方向，深度没有实际意义。

可以把环境光记录到球上，并且展开。

展开后出现了扭曲问题（向中间扭曲）。

解决办法 —— Cube Map
即不把光照信息存在球的表面上，而是立方体的表面。
因为立方体各个面是均匀的，所以不会出现扭曲。

存在的问题：相对于球来说，需要多记录一个方向。

本质：记录不同方向的光照信息。

7.3 纹理可以影响着色

纹理可以定义任何不同位置任意不同的属性，比如定义任何一个点的相对高度。

如下图就是一种凹凸贴图（定义法线的不同），这样就可以不用定义复杂的几何形体。

7.3.1 Bump Mapping 凹凸贴图

Normal Mapping法线贴图不等于Bump Mapping凹凸贴图，法线贴图存储的是法线，凹凸贴图存储的是高度差。

1> 凹凸贴图的作用

凹凸贴图可以定义复杂的纹理，但是不改变任何几何信息（三角形数量不变）。

把任何一个像素的法线做扰动
纹理定义任何一个点相对高度的移动
然后可以通过高度的变化改变法线

2> 如何扰动法线（in flatland）

假设原本的表面是平面（原本n(p)=(0,1)n(p)=(0,1)n(p)=(0,1)）
p点处的导数dp=c∗[h(p+1)−h(p)]dp = c * [h(p+1) - h(p)]dp=c∗[h(p+1)−h(p)] （c是一个常数，用来定义凹凸贴图的影响程度）
扰动后的法线是n(p)=(−dp,1).normalized()n(p) = (-dp, 1).normalized()n(p)=(−dp,1).normalized()（就是把切线旋转90°）

3> 如何扰动法线（in 3D）

假设原本的表面是平面（原本n（p）=(0,0,1)）
p点处的导数
dp/du = c1 * [h(u+1) - h(u)]
dp/dv = c2 * [h(v+1) - h(v)]
扰动后的法线是n（p） = (-dp/du,-dp/dv, 1).normalized() （就是把切线旋转90°）
注意以上都是处于局部坐标系内

4> TBN矩阵（参考）

TBN矩阵用于将存储在纹理空间的法向量转换到模型空间中。（但是实际使用时，由于光线条数远远小于法线数目，为了减少计算量，要将光线从模型空间转换到纹理空间，然后计算反射光线。）

法线纹理的映射方式和漫反射纹理相似。麻烦之处在于如何将法线从各三角形局部空间（切线空间tangent space，亦称图像空间image space）变换到模型空间（着色计算所采用的空间）。

如何定义切线空间？

众所周知，定义一个空间需要三个向量。现在向上的向量已经有了（就是法线）。
然后需要切线T⃗\vec TT，这个T⃗\vec TT需要和曲面平行，理论上满足这个条件的切线很多。

但是为了方便起见，也为了保持连续性，避免衔接出现瑕疵，标准的做法是将切线方向和纹理空间对齐：

那么这组基还差一个向量（副切线B⃗\vec BB），为了好算，选一条垂直于刚才算出的两个轴的切线。

最后来计算TBN矩阵，记三角形的两条边为deltaPos1和deltaPos2，deltaUV1和deltaUV2是对应的UV坐标下的差值；则问题可用如下方程表示：

deltaPos1 = deltaUV1.x * T + deltaUV1.y * B
deltaPos2 = deltaUV2.x * T + deltaUV2.y * B

求解T和B就得到了切线和副切线！

已知T、B、N向量之后，即可得TBN矩阵，完成从切线空间到模型空间的变换：

有了TBN矩阵，我们就能把（从法线纹理中获取的）法线变换到模型空间。

可我们需要的却是从切线空间到模型空间的变换，法线则保持不变。所有计算均在切线空间中进行，不会对其他计算产生影响。

只需对上述矩阵求逆即可得逆变换。这个矩阵（正交阵，即各向量相互正交的矩阵，参见下文”延伸阅读”小节）的逆矩阵恰好也就是其转置矩阵，计算十分简单：

7.3.2 位移贴图

得到结果要比凹凸贴图结果更好一些，但是要求三角形比较细致。（要求三角形顶点间的间隔高于纹理定义的频率）

与凹凸贴图使用相同的纹理
实际上移动了顶点的位置

7.4 三维纹理

没有真实生成纹理的图，而是定义了三维空间中的噪声函数，通过三维噪声函数来计算空间中每一点噪声的值，来动态得到纹理。
3D Procedural Noise + Solid Modeling

7.5 存储计算好的着色信息

计算好了之后得到一张纹理的图，后面再把着色的结果乘以环境光遮蔽得到最终结果。（把计算拿到之前去做，也说明了纹理不止可以存储颜色）

7.6 三维纹理和体渲染（Volume Rendering）

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