数学知识

亿些公式
约数
- 约数个数
- 约数和
网格图3点共线(n*m)
威尔逊定理
高精
线性求逆元
线性基
- 插入
- 求最大值
- 求最小值
- 求第k小的数
- 求某个数的排名是第几小
- 撤销
矩阵乘法
- 加速起飞
- 模型思想
高斯消元（ n 3 n^3 n3）
- 异或类问题
期望
- dp
莫比乌斯反演
- 技巧
- 例题
卷积
高维前缀和

亿些公式

用到什么就记什么吧
默认 n < m n<m n<m

∑ i = 1 n i 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 \sum_{i=1}^n\;i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} ∑i=1ni2=6n(n+1)(2n+1)
已知 f ( n ) = ∑ d ∣ n g ( d ) f(n)=\sum_{d|n}g(d) f(n)=∑d∣ng(d)，则 g ( n ) = ∑ d ∣ n f ( d ) μ ( n d ) g(n)=\sum_{d|n}f(d)\mu(\frac{n}{d}) g(n)=∑d∣nf(d)μ(dn)
( f × g ) ( n ) = ∑ d ∣ n f ( d ) × g ( n d ) (f\times g)(n)=\sum_{d|n}f(d)\times g(\frac{n}{d}) (f×g)(n)=∑d∣nf(d)×g(dn)
杜教筛： g ( 1 ) S ( n ) = ∑ i = 1 n ∑ d ∣ n f ( d ) g ( n d ) − ∑ i = 2 n g ( i ) S ( n i ) g(1)S(n)=\sum_{i=1}^n\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})-\sum_{i=2}^ng(i)S(\frac{n}{i}) g(1)S(n)=∑i=1n∑d∣nf(d)g(dn)−∑i=2ng(i)S(in)
∑ i = 1 n ∑ j = 1 m [ g c d ( i , j ) = 1 ] = ∑ d = 1 n μ ( d ) ⌊ n d ⌋ ⌊ m d ⌋ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)=1]=\sum_{d=1}^n\mu(d)\lfloor \frac{n}{d} \rfloor\lfloor \frac{m}{d} \rfloor ∑i=1n∑j=1m[gcd(i,j)=1]=∑d=1nμ(d)⌊dn⌋⌊dm⌋
∑ i = 1 n i [ g c d ( i , n ) = 1 ] = n × ϕ ( n ) 2 \sum_{i=1}^ni[gcd(i,n)=1]=\frac{n\times\phi(n)}{2} ∑i=1ni[gcd(i,n)=1]=2n×ϕ(n)
(因为gcd(x,n)=1时gcd(n,n-x)=1,所以一定存在一对与n互质的数加起来为n，这样的对数共有 ϕ ( n ) 2 \frac{\phi(n)}{2} 2ϕ(n)个)

约数

约数个数

首先先把x用唯一分解定理分解，变成 p 1 c 1 × p 2 c 2 . . . . . . p_1^{c_1}\times p_2^{c_2}...... p1c1×p2c2......
那么对于每一个质数，我们都有（c+1）种选择（选0个，1个，2个，……c个），用乘法原理可以得到，x的因子个数就是： ( c 1 + 1 ) × ( c 2 + 1 ) . . . . . . (c_1+1)\times(c_2+1)...... (c1+1)×(c2+1)......

约数和

思维同上，再加上乘法分配律把相同的项都提出来，就成了
( 1 + p 1 1 + p 1 2 . . . . . . + p 1 c 1 ) × ( 1 + p 2 1 + p 2 2 . . . . . . + p 2 c 2 ) . . . . . . (1+p_1^1+p_1^2......+p_1^{c_1})\times (1+p_2^1+p_2^2......+p_2^{c_2}) ...... (1+p11+p12......+p1c1)×(1+p21+p22......+p2c2)......

网格图3点共线(n*m)

水平共线： C m + 1 3 × ( n + 1 ) C^3_{m+1}\times(n+1) Cm+13×(n+1)
竖直共线： C n + 1 3 × ( m + 1 ) C^3_{n+1}\times(m+1) Cn+13×(m+1)
倾斜共线（因为左右对称，所以只计算一边，然后结果乘2 即可）
利用相似三角形的性质可知：设一个格点直角三角形两边长为 a , b a,b a,b,则它的两个端点的连线经过的格点个数为： g c d ( a , b ) − 1 gcd(a,b)-1 gcd(a,b)−1
则公式为： ∑ i = 1 i = n ∑ j = 1 j = m ( n − i + 1 ) ∗ ( m − j + 1 ) ∗ ( g c d ( i , j ) − 1 ) \sum^{i=n}_{i=1}\sum^{j=m}_{j=1}(n-i+1)*(m-j+1)*(gcd(i,j)-1) ∑i=1i=n∑j=1j=m(n−i+1)∗(m−j+1)∗(gcd(i,j)−1)
经典例题：
数三角形

威尔逊定理

( n − 1 ) ! % n (n-1)!\%n (n−1)!%n 当且仅当 n n n为质数的时候答案为 n − 1 n-1 n−1，其他时候都为0（表示不知道有什么用）
注意当 n = 4 n=4 n=4的时候答案为2

高精

杨辉三角+高精加
这个一眼就看出来了，单纯的套用，不多说，复杂度太高（不建议）
唯一分解+高精乘
众所周知，组合数是一个整数啊！！！！
所以，它下面的每一个因子，一定可以被上面的约掉
于是我们就可以把每个因子分解出来，然后加加减减，只留下约完的因子，再一波高精乘，完美结束
乘的时候完美可以采用1e9进制【你没听错】，也就是把一个 i n t int int数组直接存满，输出的时候如果要输出前导零，可以直接这样

printf("%09d",ans);//补齐9位，也就是如果是个7位数，那么会输出2个前导零

在因子加减的时候，可以直接传入1,-1来控制，超级巧妙
代码如下：

void fen(int x,int y)
{for(int i=2;i<=sqrt(x)&&x!=1;i++) while(x%i==0) c[i]+=y，x/=i;if(x) c[x]+=y;
}
//调用    C(g-1,k-1)
for(int i=1;i<=g-1;i++) fen(i,1);
for(int i=1;i<=k-1;i++) fen(i,-1);
for(int i=1;i<=g-k;i++) fen(i,-1);

经典例题：
方程的解
火车进出站

线性求逆元

这个直接粘代码吧，证明什么的真的太为难我了啊

//原数的逆元
ny[0]=1,ny[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++) ny[i]=(1ll*(p-p/i)*ny[p%i]%p)%p;//阶乘的逆元
ny[n]=ksm(jiec[n],p-2);
for(int i=n;i>=1;i--) ny[i-1]=1ll*ny[i]*i%p;
ny[0]=1;

线性基

线性基中的元素都无法被其他元素用异或操作表示，主要有以下几个操作：

插入

插入的时候，从高到低，如果这一位有值了，就异或掉，保证每一位只有一个元素，但是此时会出现 10011,00010的情况（也就是某一位线性基有值的时候，前面的元素的这一位可能也是1）

求最大值

从高位到低位，只要异或这个线性基能让结果变大就异或。
经典例题：
X O R XOR XOR（找无向图上，可重复边，1-n的路径上的权值异或和最大）

求最小值

如果这个数能被线性基表示，就是0，否则是最小的线性基

求第k小的数

这里就要求把线性基变成最简的，也就是把上面的例子变成10001,00010，然后对k二进制拆分，把是1的位置上的线性基异或起来就行
经典例题：
X O R XOR XOR（找第k小的异或和）

求某个数的排名是第几小

分为重复和不重复两种。如果不重复，那么就是求第k大反过来，找出它在线性基中异或了哪些数，对应的还原排名的二进制。如果重复，那么有些数不能插入，说明这些数和线性基中的一些数异或起来是个0，也就是在前面不重复的基础上添了一堆0.我们只需要求出这样0的个数，再加上那个排名，就是重复情况下的排名了。可以想象，线性基外的数随便选，肯定能异或出来0，而这样的选择共有2^(n-|B|)个
经典例题：
albus就是要第一个出场

撤销

并不是真的可撤销，而是添加了一个插入时间，在ask的时候判断一下是否符合时间限制就行了
根据操作不同，时间的修改方式也不同
比如要找异或最大值，那么让最高位越晚删除越好，如果之后插入的这一位也为1，那么我就把这个插进去，把原来的拿出来，也就是swap一下
经典例题：
八纵八横
白云的问题（从前到后枚举右端点，然后就是这个的板子）

矩阵乘法

感觉是一个只可意会的算法，前面的基础例题确实非常基础，让你能看出来是矩阵乘法，后面的进阶也确实非常进阶，让你完全看不出来需要矩乘优化o(╥﹏╥)o

有一点需要提醒，这个算法是个比较良心的，乘法的循环与顺序无关

加速起飞

多用于图论加速，想一想邻接矩阵存边是不是矩阵，所以可以类比到矩阵乘法，解决这类问题：

从 x x x到 y y y，共走 k k kk kk步，一共有多少种方案？

这里直接建立原邻接矩阵为 A A A，那么答案就是 A k k . a [ x ] [ y ] A^{kk}.a[x][y] Akk.a[x][y]（比较习惯用结构体存）

为什么这样？原因很简单：
刚开始矩阵中的数都为1，表示从 x x x到 y y y走1步的方案数为1
做矩阵乘法的核心代码是: Z . a [ i ] [ j ] + = X . a [ i ] [ k ] × Y . a [ k ] [ j ] Z.a[i][j]+=X.a[i][k]\times Y.a[k][j] Z.a[i][j]+=X.a[i][k]×Y.a[k][j]
可以理解为： i i i到 j j j的方案数=从 i i i到 k k k的方案数 × \times ×从 k k k到 j j j的方案数（分步，乘法原理）
以此类推，就能理解啦
经典例题：
HH散步（加了一丢丢限制条件）

毕竟是主要服务于图论，它还可以加速dp（它好像也是主要用于加速dp）
依然是要建立矩阵，一般都把答案存到最前面那一行
哦！好像就是斐波那契（滑稽）
经典例题：
斐波那契（最基础的题目啦，才发现好像真的是优化dp，看来之前真的没学懂）
棋盘（优化状压，真毒瘤啊o(╥﹏╥)o）

模型思想

具体模型可以看做有一件事情需要重复进行运算，尤其是这个重复计算的次数非常庞大，1e9!!，那么就要考虑一下矩乘了（找规律有时候也行）
而矩乘时的核心式子也是按照题目不同而定的不一定是乘法，而是与矩乘一样，·具有结合律的重复操作
经典例题：
晨练（重复的取反操作，要联想到矩乘）

高斯消元（ n 3 n^3 n3）

异或类问题

一般来说，高斯消元是解决加减问题，但是^，又被称之为不进位的加法，所以只需要换一个符号，就能解决异或类问题，五个步骤依然同上
经典例题：
高斯消元解异或线性方程组（板子）
开关问题（求方案数，那么如果有一行是0=0，那么方案数翻倍）

期望

dp

一定要记好这个式子：

E ( a X + b Y ) = a E ( X ) + b E ( Y ) E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y) E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)

这里的 a X , b Y aX,bY aX,bY 也可以是个常数！！
绝大部分的dp都应该从结尾状态推向开始状态，因为最后的结果是固定的

一个比较常见的dp类型，问题大致是这个模板：

1~n这几个数字，每次随机出现，求每个数字都至少出现一次的期望随机次数，用 f [ i ] f[i] f[i]表示已经出现了 i i i个数字，剩下要出现 n − i n-i n−i个数字的期望，则

f [ i ] = i / n × f [ i ] + ( n − i ) / n × f [ i + 1 ] + 1 f[i]=i/n\times f[i]+(n-i)/n\times f[i+1]+1 f[i]=i/n×f[i]+(n−i)/n×f[i+1]+1

出现了 i i i个数字，那么再抽一次会有两种情况（1）抽到了重复的数字，概率 ( a ) (a) (a)是 i / n i/n i/n，此时的 X X X是 f [ i ] f[i] f[i]（2）新抽到一个数字，概率 ( b ) (b) (b)是 ( n − i ) / n (n-i)/n (n−i)/n，此时的 Y Y Y是 f [ i + 1 ] + 1 f[i+1]+1 f[i+1]+1，因为新抽了一个数字就变成已经抽到 i + 1 i+1 i+1个数字了，同时还要加上当前抽了一次的贡献

当然，得出来最基础的dp式子一般是不行的，需要化简

f [ i ] = f [ i + 1 ] + n / ( n − i ) f[i]=f[i+1]+n/(n-i) f[i]=f[i+1]+n/(n−i)

经典例题：
青蛙跳荷叶（没想到常数也能套到公式里，dp不理解，这是个很简单但是很典型的期望dp）
绿豆蛙的归宿（上面的思路+拓扑）

莫比乌斯反演

技巧

1.交换循环顺序
2. 枚举gcd
3. 整除分块
4. 看到gcd=1，那么就直接莫比乌斯

例题

见此处

卷积

用于求积性函数前缀和（当然，不是一般的前缀和，而是很大，很长的，嗯）

重点就是记住这个式子：

g ( 1 ) S ( n ) = ∑ i = 1 n ∑ d ∣ n f ( d ) g ( n d ) − ∑ i = 2 n g ( i ) S ( n i ) g(1)S(n)=\sum_{i=1}^n\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})-\sum_{i=2}^ng(i)S(\frac{n}{i}) g(1)S(n)=i=1∑nd∣n∑f(d)g(dn)−i=2∑ng(i)S(in)

待补充

高维前缀和

代码非常简单，只有三行

 for(int j=0;j<22;j++)for(int i=0;i<(1<<22);i++)if((i>>j&1)) ans[i]+=ans[i^(1<<j)];

可以看出， i X O R ( 1 < < j ) iXOR(1<<j) iXOR(1<<j)为 i i i的子集，那么如果变成

ans[i^(1<<j)]+=ans[i];

就是后缀和啦

前面的条件也很重要，如果把条件换成这一位是0，那么求的就是超集（ i i i是超集的子集）

经典例题：
O r P l u s M a x Or \;Plus \;Max OrPlusMax（找前缀最大值和次大值，又因为是<=k的，所以在输出答案的时候也要不断和之前的取最大值）
B i t s A n d P i e c e s Bits\; And \;Pieces BitsAndPieces（可以枚举 d [ i ] d[i] d[i]，只需要找满足条件的 d j A N D d k d_jANDd_k djANDdk即可。考虑或的性质，和贪心，我要尽量把 d [ i ] d[i] d[i]原来是0的位置变成1，且从高位变，高位如果能变成1，后面任何不能把高位变成1的一定不优。于是先用高维前缀和（注意，这里i应该为子集，因为是或运算，只要这一位是1，其他位是什么无关）预处理出最靠后的j,k，然后枚举i判断就行了）
C o m p a t i b l e N u m b e r s Compatible\; Numbers CompatibleNumbers（找这个数取反后的子集就行了）

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