证明：模n加法满足结合律

设a,b,ca,b,ca,b,c为任意整数，nnn为某正整数。为了在表示上更加简单，我们定义：

[a]={x∣x≡a(mod⁡n)}[a] = \{x|x \equiv a (\operatorname{mod} n)\} [a]={x∣x≡a(modn)}

则定义模nnn加法如下：

[a]⊕[b]=[a+b][a] \oplus [b] =[a+b] [a]⊕[b]=[a+b]

于是利用加法的结合律可得：

(a⊕b)⊕c=([a]⊕[b])⊕[c]=[a+b]⊕c=[(a+b)+c]=[a+(b+c)]=[a]⊕[b+c]=[a]⊕([b]⊕[c])\begin{aligned} (a\oplus b) \oplus c &= ([a] \oplus [b]) \oplus [c] \\ &= [a+b] \oplus c \\ &= [(a+b)+c] \\ &= [a+(b+c)] \\ &= [a]\oplus[b+c]\\ &=[a]\oplus([b]\oplus[c]) \end{aligned} (a⊕b)⊕c=([a]⊕[b])⊕[c]=[a+b]⊕c=[(a+b)+c]=[a+(b+c)]=[a]⊕[b+c]=[a]⊕([b]⊕[c])
从而证明了模nnn加法的结合律.
Q.E.D

参考：https://faculty.atu.edu/mfinan/4033/absalg11.pdf

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